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Mathematik 1Mathematik 1 Gewichtsmaße: 1 Gramm: 1 g 1 Dekagramm: 1 dag = 10 g 10 dag = 100 g 1 Kilogramm: 1 kg = 100 dag = 1000 g 1 kg = 1000 g = 100 dag 1 Tonne: 1 t = 1000 kg Merktabelle ZZ 4 Teil B, Seite 56 auswendig lernen! Umwandeln: g in dag ? : 10 (weil 10g = 1 dag) dag in g ? ? 10 ( .... ) dag in kg ? : 100 (weil 100 dag = 1kg ) kg in dag ? ? 100 ( ... ) g in kg ? : 1000 ( weil 1000 g = 1 kg) kg in g ? ? 1000 ( .... ) kg in t ? : 1000 (weil 1000 kg = 1t) t in kg ? ?1000 ( .... ) 1/8 kg = 12,5 dag = 125 g 1/8 dag = 1, 25 g ¼ kg = 25 dag = 250 g ¼ dag = 2, 50 g ½ kg = 50 dag = 500 g ½ dag = 5 g = 5, 00 g ¾ kg = 75 dag = 750 g ¾ dag = 7,50 g 4/4 kg = 1 kg = 100 dag = 1000g 4/4 dag = 1 dag = 10 g 1/8 t = 125 kg 1/8 km = 125 m ¼ t = 250 kg ¼ km = 250 m ½ t = 500 kg ½ km = 500 m ¾ t = 750 kg ¾ km = 750 m 4/4 t = 1 t = 1000 kg 4/4 km = 1 km = 1000m Umwandeln = umrechnen: t in kg : 1 t = 1000kg: 5 t = 5 ? 1 000kg = 5 000 kg Umkehrrechnung: kg in t : 1000 kg = 1 t: 5 000 kg = 5 000 : 1000 = 5 t Rauminhalte: 1 Liter : 1 l 1l = 1dm3 1 l Wasser wiegt 1 kg = 1000 g. 1ml = 1mIlliliter 1/8 l Wasser wiegt 125 g 1ml = 1cm3 ¼ l Wasser wiegt 250 g ½ l Wasser wiegt 500g ¾ l Wasser wiegt 750 g ___________________________________________________ Rechnen mit Euro: 1 Euro: 1 Eu = 1 € 100 c = 1 € 1 € = 100 c 1 c = 0, 01 € z h 10 € = 1000 c 100 € = 10 000 c Das Komma trennt Euro von Cent ! Das Komma ist ein: , € , c Links Euro , rechts Cent z.B.: 2 , 44 Eu T H Z E , Z E Eu 4 3 8 1 , 7 0 Eu 3 8 1 , 0 7 Eu Umwandeln: Eu in c ? ? 100 ( weil 100c = 1 Eu) ? Komma weggeben! c in Eu ? : 100 ( ....) ? zwei Kommastellen machen: ? Bogerl machen ! ( im Kopf! ) 10001c = 100,01 Eu Wenn ich Kopfrechne: Zuerst Euro, dann Cent. Die Zeiteinheiten: 1 Sekunde: 1 s 1 Minute: 1 min = 60 s ¼ min = 15 s ½ min = 30 s ¾ min = 45 s 1 Stunde: 1 h = 60 min ¼ h = 15 min ½ h = 30 min ¾ h = 45 min 1 Tag = 24 h 1 h = 60 min = 3 600 s 2 Tage = 48 h 1 h = 3 600 s = 60 min 3 Tage = 72 h 1 Jahr = 12 Monate 1 Jahr = 52 Wochen 1 Jahr = 365 Tage ( alle 4 Jahre ist ein Schaltjahr mit 366 Tagen – - mit einem 29. Tag im Februar; - das letzte Schaltjahr war 2004.) 1 Monat hat 30 oder 31 Tage; nur der Februar hat 28 Tage u. im Schaltjahr 29. Bruchzahlen: Jeden Bruch kann ich auch als Division aufschreiben. Und umgekehrt: Jede Division kann ich auch als Bruch aufschreiben. Die Hälfte: ½ = 1 Ganzes : 2 Ein Viertel: ¼ = 1 Ganzes : 4 Ein Achtel: 1/8 = 1 Ganzes : 8 Ein Sechzehntel: 1/16 = 1 Ganzes : 16 z.B.: ¼ = 1 : 4 = 0, .... das können wir noch nicht rechnen = das geht nicht. Komma 4/4 = 4 : 4 = 1 Ganzes 1/8 = 1 : 8 = 0, ..... das können wir noch nicht rechnen = das geht nicht. Komma 8/8 = 8 : 8 = 1 Ganzes ein Viertel oder der vierte Teil = ¼ = 1 : 4 ein Siebentel oder der siebente Teil = 1/ 7 = 1 : 7 ein Zehntel oder der zehnte Teil = 1/ 10 = 1 : 10 Die Hälfte = halbieren = halb so viel = geteilt durch zwei = : 2 Bruchzahlen: 3 Der Zähler gibt an, wie viele Teile es sind . 4 Der Nenner gibt an, in wie viele Teile ein Ganzes geteilt wurde Der Bruchstrich bedeutet eine Division. Den Bruchstrich schreibt man zuerst. Die Klammer: ( ....... ) Was in der Klammer steht, muss ich immer zuerst ausrechnen! Mit diesem Ergebnis kann ich dann weiterrechnen: z.B.: (l + b) ? 2 = (2 ? l) + (2 ? b) = U (Ergebnis) ? 2 = (Ergebnis) + (Ergebnis) = U 5/6 = ( 1 Ganzes : 6 ) ? 5 (Ergebnis) ? 5 5/8 = (1 Ganzes :  ? 5 ¾ = (1 Ganzes : 4) ? 3 7/8 = (1 Ganzes : ?7Das Klammervertauschungsgesetz = das Assoziativgesetz: (a+b) + c = a+ (b+c) Die Längenmaße: ZZ4A, S. 54 1mm ? 10 = 10 mm=1 cm ?10 = 10 cm=1 dm ? 10 = 1m 1cm ? 100 = 1m 1mm ? 1000 = 1m 1 Millimeter: 1 mm 1 Dezimeter: 1 dm 1 Zentimeter: 1 cm 1 Meter: 1 m 1 Kilometer: 1 km 1 cm = 10 mm 10 mm = 1 cm 1 dm = 10 cm = 100 mm 1 dm = 100 mm = 10 cm 1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm 1 m = 100 cm = 10 dm = 1 000 mm 1 m = 1 000 mm = 100 cm = 10 dm 10 m = 1 000 cm = 10 000 mm 10 m = 10 000 mm = 1 000 cm 1 km = 1 000 m = 10 000 dm = 100 000 cm = 1 000 000 mm 1000 m = 1 km = 1 000 000 mm = 100 000 cm = 10 000 dm Umwandeln: mm in cm ? : 10 (weil 10mm = 1cm) cm in mm ? ?10 ( .............. ) mm in m ? : 1000 (weil 1000 mm = 1 m) m in mm ? ? 1000 ( ............. ) cm in dm? : 10 (weil 10 cm = 1 dm) dm in cm ? ? 10 ( .......... ) cm in m ? : 100 (weil 100 cm = 1 m) m in cm ? ? 100 ( ........... ) mm in dm ? : 100 (weil 100 mm = 1 dm) dm in mm ? ? 100 ( .............. ) dm in m ? : 10 ( weil 10 dm = 1 m) m in dm ? ? 10 ( ..................... ) m in km ? : 1000 (weil 1000 m = 1 km) km in m ? ? 1000 ( ............. ) dm in km ? : 10 000 (weil 10 000 dm = 1 km) km in dm ? ? 10 000 ( ............... ) cm in km ? : 100 000 (weil 100 000 cm = 1 km) km in cm ? ? 100 000 (weil 100 000 cm = 1 km) Die Flächenmaße: 1 mm2 ?100 ? 1cm2 ? ? 100 ? 1dm2 ? ? 100 ? 1m2 1m2 ? 100 ? 1a ? ? 100 ? 1 ha ? ? 100 ? 1km2 Die Umwandlungszahl bei Flächenmaßen ist 100: Von einer Einheit zur nächsten Einheit umwandeln: z.B.: mm2 in cm2 ? : 100 cm2 in mm2 ? ?100 1cm2 = 100 mm2 1dm2 = 10 000 mm2 = 100 cm2 1dm2 = 100 cm2 = 10 000 mm2 1m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2 1 a = 100 m2 1m2 = 10 000 cm2 = 100 dm2 = 1 000 000 mm2 1 ha = 100 a 1m2 = 1 000 000 mm2= 10 000 cm2 = 100 dm2 1 km2 = 100 ha 1 Quadratmillimeter = 1mm2 Ein Quadrat mit der Seitenlänge 1mm heißt Quadratmillimeter. Zum Berechnen sehr kleiner Flächen verwendet man das Einheitsmaß Quadratmillimeter. 1mm2 ist so groß wie ein Stecknadelkopf. 1 Quadratzentimeter = 1cm2 1cm2 = 100mm2 Ein Quadrat mit der Seitenlänge 1cm heißt Quadratzentimeter und ist so groß wie mein Daumennagel. 1 Quadratdezimeter = 1dm2 1dm2 = 100cm2 = 10 000mm2 Ein Quadrat mit der Seitenlänge 1dm heißt Quadratdezimeter und ist so groß wie die Handfläche eines erwachsenen Menschen. Mit dem Einheitsmaß Quadratdezimeter misst man die Flächen von nicht allzu großen Gegenständen wie Büchern, Sesseln, Tischen, u.a.. 1 Quadratmeter = 1m2 1m2 = 100dm2 = 10 000cm2 Ein Quadrat mit der Seitenlänge von 1m heißt Quadratmeter. Zum Berechnen großer Flächen wie Fußböden, Wänden, u.a. verwendet man das Einheitsmaß Quadratmeter. 1 Ar = 1 a 1 a = 100 m2 Ein Quadrat mit der Seitenlänge 10m heißt Ar. Für das Berechnen der Flächen von Schwimmbecken oder Grundstücken kann man das Einheitsmaß Ar verwenden. 1 Hektar = 1 ha 1 ha = 100 a = 10 000 m2 Ein Quadrat mit der Seitenlänge 100m heißt Hektar. Das Einheitsmaß Hektar wird für Flächenberechnungen von landwirtschaftlichen Nutzflächen verwendet. 1 Quadratkilometer = 1 km2 1 km2 = 100 ha = 10 000 a = 1 000 000 m2 1 000 000 m2 = 1 km2 km2, ha, a Große Flächen wie Seen, Gemeinden, Länder werden mit dem Maß Quadratkilometer gemessen. Flächenberechnung: FlächeRechteck = Länge ? Breite ? F = l ? b, AR a• b FlächeQuadrat = Seite ? Seite ? F = s ? s, AQ = a • a Die Subtraktion = Minusrechnung = Weniger-Rechnung: Minuend – Subtrahend = Wert der Differenz „minus" ist Wichtig: Minuend ? Subtrahend Merken: „Die Differenz bilden ...", „eine Differenz": bedeutet - eine Minusrechnung machen Statt jeder „ und-wie-viel ?" Rechnung kann ich eine Minus-Rechnung machen, denn in jeder Subtraktion steckt eine „und wie viel Rechnung". Die Darstellung der Subtraktion: (45. Schulübung) a) als Subtraktion von Strecken: b) auf dem Zahlenstrahl: 1 E = 1cm „entspricht" c) mit dem Rechenbaum: d) mit dem Rechenbefehl: Der Zusammenhang zwischen Subtraktion und Addition: Die Addition ist die Umkehrrechnung zur Subtraktion – und umgekehrt – Die Subtraktion ist die Umkehrrechnung zur Addition. Mit der Umkehrrechnung kann ich: 1. die Probe machen – und 2. Gleichungen lösen Die Addition = Plus-Rechnung = Und-Rechnung: Summand + Summand = Wert der Summe „plus" ist Die Darstellung der Addition: a) als Addition von Strecken: b) als Addition auf dem Zahlenstrahl: 1 E = 1 cm „entspricht" c) mit dem Rechenbaum d) mit dem Rechenbefehl Die Rechengesetze der Addition: 1.) Das Vertauschungsgesetz = das Kommutativgesetz: a, b, c ? N a + b = b + a a, b, c … sind Variable = Platzhalter 2.) Das Klammervertauschungsgesetz = das Assoziativgesetz: (a + b) + c = a + (b + c) Die Zusammenfassung mehrerer Summanden und mehrerer Subtrahenden: Ich bilde: (48. - 50. Schulübung) Rb nr. 300-308 1. Die Summe der Summanden 2. Die Summe der Subtrahenden 3. Die Differenz der beiden Ergebnisse Dabei ist wichtig: 1. Die Klammer hat immer Vorrang: das heißt – was in der Klammer steht, wird immer zuerst ausgerechnet! 2. Die Klammern dürfen nicht verändert werden! ................................................................................................................................ Die Multiplikation = Mal-Rechnung: Multiplikand ? Multiplikator = Wert des Produkts 1. Faktor „mal" 2. Faktor ist doppelt = zweifach = zweimal so viel = ? 2 z.B.: 3 und noch einmal so viel, z.B.: 3 + 3 = 6 oder: das Doppelte von 3: 3 + 3 = 6 „doppelt" = ? 2 Eine Multiplikation kann ich auch als Addition darstellen (aufschreiben): ich kann rechnen 3 ? 2 = 3 + 3 = 6 oder 3 ? 3 = 3 + 3 + 3 = 9 oder 3 ? 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 oder 3 ? 5 = 5 ? 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 Die Multiplikation ist eine vereinfachte Addition von lauter gleichen Summanden. Darstellung der Multiplikation: 51. Schulübung 1. Auf dem Zahlenstrahl als Addition lauter gleicher Summanden 2. Als Rechenbaum 3. Als Rechenbefehl Rechengesetze der Multiplikation: 1. KG: a ? b = b ? a 2. AG: (a?b) ? c = a ? (b ? c) 3. das neutrale Element ist 1: a ? 1 = a 4. besonders gilt: a ? 0 = 0 .......... Jede Zahl mal 0 ergibt 0 !!!!!!!!!! Meine Frage: 7 + 0 = 7 aber 7 ? 0 = 0 warum ? Weil: 7 + 0 = 7 + „nichts" = 7 7 ? 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 0 ? 7 = 0 mal 7 = „nichts" mal 7 = 0 Beim 1 mal 1: Wer die Zehnerreihen kann, kann auch die Hunderterreihen und die Tausenderreihen! Der Einservorteil: keinen Strich darunter machen und 1 Stelle nach rechts rücken! Multiplikation mit dekadischen Einheiten: z. B.; 37 ? 1, 37 ?10, ? 100, ? 1 000, ? 10 000, ? 100 000, ? 1 000 000 Eine natürliche Zahl wird mit 10, 100, 1 000, ... multipliziert indem man ein, zwei, drei, vier, ... Nullen an die natürliche Zahl anhängt. Beim Multiplizieren keine Null verlieren! Überschlagsrechnung bei der Multiplikation: 523 ? 264 ?? 500 ? 300 = 15 000 Die Division: Dividend : Divisor = Wert des Quotienten „dividiert durch" „ist gleich" „dividieren" = Lateinisch und heißt „aufteilen" „Teil von, ein Teil, der Teil, teilen, verteilen, unterteilen, austeilen, aufteilen = : Wer malnehmen kann, kann auch teilen: mit den Insätzchen. Die Division ist die Teilungs-Rechnung: In jeder Division stecken In-Sätzchen im „Sprücherl". Das fortlaufende Subtrahieren derselben Zahl ist eine Division, z.B.: 18 : 6 = 3 ? 18-6 =12 ? 12-6 = 6 ? 6-6 = 0 0 Rest Schöner ausgedrückt: Jede Division kann ich als fortlaufende Subtraktion darstellen (=aufschreiben). Durch Null darf man NIEMALS dividieren: 0 : a = 0 ? 0 : 7 = 0, a ? N a : 0 = x 7 : 0 = x ... geht nicht! 7 = 0 · x ... es gibt keine Zahl! Jede Division kann ich mit einer Multiplikation überprüfen (= die Probe machen), weil die Multiplikation die Umkehrrechnung zur Division ist. ? Diesen Zusammenhang nützt man für die Probe. Die Division ist die Umkehrrechnung zur Multiplikation – und umgekehrt – - die Multiplikation ist die Umkehrrechnung zur Division. „durchschnittlich, im Durchschnitt": So berechne ich den Durchschnitt : ich zähle, wie viel mal (= wie oft) etwas gemacht wird und dividiere die Summe ( = +... + ...+... + ...) durch diese Zahl. Auf Raten bezahlen = in Teilbeträgen zahlen: ich dividiere den zu zahlenden Betrag durch die Anzahl der Raten. Beim Dividieren: zuerst die M, dann die HT, dann die ZT, dann die T, dann die H, dann die Z, dann die E. Beim Dividieren rechne ich mit der Null genauso wie mit jeder anderen Zahl. Außerdem: Manchmal muss ich Stellen zusammenfassen: 1 2 3 4 5 107 809 : 6 = Die Klammer zählt als 1 Stelle: Das Ergebnis der Division hat 5 Ziffern. Die Überschlagsrechnung bei der Division: 8634 : 159 = 54 Überschlag: 8 000 : 200 = 40, weil 2 in 8 ist 4 mal 541 698 : 625 = 866 Überschlag: 540 000 : 600 = 900 ? weil 6 in 54 ist 9 mal. ? nächstgelegne Malreihe verwenden und Insätzchen anwenden. (Geht anders und ungenauer als das Runden!) Die Division durch dekadische Einheiten: Beim Dividieren durch reine Zehnerzahlen (10, 50, 90, 100, 300, 1000, u.s.w.) kann ich dann die Nullen wegkürzen, wenn die Zahlen in den Malreihen ohne Rest enthalten sind, das heißt: wenn im Insätzchen 0 Rest bleibt. z.B.: 720 : 90 = 8 0 Rest: 8 mal 9 = 72 – hier kann ich kürzen 9 in 72 ist 8 mal 0 Rest 90 in 720 ist 8 mal 0 Rest aber: 730 : 90 = 10 Rest - hier kann ich nicht kürzen! 9 in 73 ist 8 mal 1 Rest 90 in 730 ist 8 mal 10 Rest „Bogerl" machen oder durchstreichen: - „Kürzen" immer auf beiden Seiten ! 50 : 10 = 5 5 000 : 10 = 500 500 : 100 = 5 50 000 : 100 = 500 5 000 : 1 000 = 5 50 000 : 1 000 = 50 50 000 : 10 000 = 5 500 000 : 10 000 = 50 usw. Dividieren durch mehrstellige Zahlen:1.Kl, 2006 Division durch Dezimalzahlen 23. 3. 2006: 1. Division von Dezimalzahlen durch natürliche Zahlen: 2. Division durch dekadische Einheiten: Beim Dividieren durch reine Zehnerzahlen (10, 50, 90, 100, 300, 1000, u.s.w.) kann ich dann die Nullen wegkürzen, wenn die Zahlen in den Malreihen ohne Rest enthalten sind, das heißt: wenn im Insätzchen 0 Rest bleibt. 340 : 10 = 34, 0 340 : 100 = 3, 40 340 : 1000 = 0, 340 340 : 10 000 = 0, 0340 35 : 700 = 0,05 33: 1 100 = 0, 003 3. Division von Dezimalzahlen durch Dezimalzahlen: 0, 25 : 0, 5 = Ü: 25 : 50 = 0, 5 1, 69 : 1, 3 = 1, 3 Ü: 2 : 1 = 2 Probe: E 0,114 : 0,06 = 0,19 Ü: 120:60 = 20 Probe: 28,875 : 8, 25 = 3, 5 Ü: 32 : 8 = 4 Probe: 4. Division mit Rest: Buch Nr.647, 648, 657 Ich rechne um 1 Kommastelle mehr aus als gefragt ist und runde dann auf oder ab. 3157, 2 : 4,62 = 683, 37 ˜ 683, 4 Ü auf 1 Dezimalzahl: 3000 : 5 = 600 Probe.- Österreichisch dividieren: „Sprücherl": „..... mal ..... ist ..... und wie viel ist ...." ? hinschreiben, .... (wiederholen) z. B.: 2581 : 41 = beim Schätzen: 41 ist in 258 ist ähnlich oft wie 4 in 25 ? auf jeder Seite 1 Stelle von rechts beginnend – im Kopf – durchstreichen: 2581 : 41 = oder z. B.: 258188 : 414 = ? 414 ist in 2581 ähnlich oft wie 4 in 25 ? auf jeder Seite 2 Stellen von rechts beginnend – in Kopf - durchstreichen 258188 : 414 = - auf jeden Fall auf beiden Seiten gleich viele Stellen wegstreichen! 25818857 : 4145 = 25818857 : 4145 = Ausländisch dividieren: So wie wir bisher dividieren gelernt haben, so dividiert man nur in Österreich. In anderen Ländern dividiert man anders und zwar – mit einer Minusrechnung: z.B.: 394 : 21 = 18 - 21 184 - 168 16 R Sprich: „ 1 mal 1 = 1" „ 1 mal 2 = 2" ____________________________ „ 8 mal 1 = 8" „ 8 mal 2 = 16" ………………………………………………………………………………………………… Die Verbindung der 4 Grundrechnungsarten: Vorrangregeln: 1. Die Klammer hat immer Vorrang! 2. Die Rechnungsarten 2. Stufe (?, ?) haben Vorrang vor den Rechnungsarten 1. Stufe (?, ? ) !! Kurz: Punktrechnung vor Strichrechnung!! ……………………………………………………………….............................. Regel für das Herausheben gemeinsamer Faktoren: Das Verteilungsgesetz = das Distributivgesetz: a • b + a • c = a • (b + c) z.B.: 2 • 3 + 2 • 4 = 2 • (3 + 4) = 2 • 7 = 14 ………………………………………………………………….................................. Von einer Mehrheit auf eine andere Mehrheit schließen: z. B.: 5 kg Äpfel kosten ...... 9 Eu 5 ? ? 8 8 kg ... kosten wie viel ? : 5 • 8 ? ? 1 kg ? 1 :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: GLEICHUNGEN: x, y, z = Variable = Platzhalter, x, y, z ? N L = Lösungsmenge L = ? .... ? ........................................................................................................................................... Das Runden von Zahlen: Das Ergebnis beim Runden heißt: „Näherungswert" Der möglichst kleine Fehler beim Runden heißt „Rundungsfehler". Bei 0, 1, 2, 3, 4 wird abgerundet und die Ziffer bleibt gleich! Bei 5, 6, 7, 8, 9 wird aufgerundet und die Ziffer wird um eines mehr! 430 Beim Runden auf den nächsten Zehner entscheidet die Einerstelle. ? Steht an der Einerstelle 1, 2, 3, oder 4, wird abgerundet; 423 425 Bei 5, 6, 7, 8, oder 9 wird aufgerundet. ? 420 Beim Runden auf den nächsten Hunderter entscheidet die Zehnerstelle. 400 Steht an der Zehnerstelle 0, 1, 2, 3, oder 4, wird abgerundet; ? Bei 5, 6, 7, 8, oder 9 wird aufgerundet. 320 350 ? 300 Beim Runden auf den nächsten Tausender entscheidet die Hunderterstelle. Steht an der Hunderterstelle .................................. 9 000 ....................................... ? 8 374 8 574 ? 8 000 Beim Runden a. d. nächsten Zehntausender entscheidet die Tausenderstelle. Steht an der Tausenderstelle...................... 80 000 ................................... ? 74 456 75 456 ? 70 000 Beim Runden a. d. n. Hunderttausender entscheidet die Zehntausenderstelle. Steht an der Zehntausenderstelle ....................... 600 000 ......................................... ? 545 678 554 678 ? 500 000 Beim Runden auf die nächste Million entscheidet die Hunderttausenderstelle. Steht an der Hunderttausenderstelle ......................... ....... 1 000 000 1 000 000 4 000 000 ........... ? ? ? 400 000 500 000, 488 888 533 888, 3 455 777 3 533 333 ? ? ? 400 000 400 000 3 000 000 Geometrische Formen: Die Gerade: 8= unendlich, ? = ... liegt auf der Geraden; ist Element der Geraden ?= liegt NICHT auf der Geraden, ist NICHT Element der Geraden Durch 2 Punkte kann man 8 viele krumme Linien ziehen, aber nur 1 gerade Linie! __________________________ ? das ist eine gerade Linie Eine in beide Richtungen unbegrenzte gerade Linie nennt man eine Gerade: Eine Gerade hat weder einen Anfangspunkt noch einen Endpunkt. Eine gerade besteht aus unendlich vielen Punkten. Gerade werden mit Kleinbuchstaben beschriftet: g, h, l, m, n, ..... Geraden, die überall gleich weit von einander entfernt sind, nennt man parallele Gerade: ?? Eine senkrechte Gerade hat zu einer anderen bestimmten Geraden einen rechten Winkel, sie steht senkrecht. Eine horizontale Gerade liegt waagrecht. Die Normale: ? Die Normale = die Gerade, die zu einer anderen Geraden im rechten Winkel steht: Normale Gerade schneiden einander im rechten Winkel: = 90° = ? Man sagt: „sie stehen aufeinander normal." Die Strecke: Eine geradlinige Verbindung durch zwei Punkte ist eine Strecke: Jede Strecke hat einen Ausgangspunkt und einen Endpunkt. Punkte werden durch Ringe oder Kreuze dargestellt. Die Beschriftung erfolgt durch Großbuchstaben. Jede Strecke hat eine bestimmte Länge. Auch die Kanten vom Quader und vom Würfel sind Strecken. Addition von Strecken: „Zur ersten Strecke kommt eine zweite Strecke dazu." Strecken werden addiert, indem man in den Endpunkt der 1. Strecke den Anfangspunkt der 2. Strecke setzt und nach rechts hinten „abschlägt". Subtraktion von Strecken: „ Von der größeren Strecke wird etwas weggenommen." Strecken werden subtrahiert, indem man in den Endpunkt der 1. Strecke den Anfangspunkt der zweiten Strecke setzt und nach links vorne „abschlägt". Der Strahl: Eine nur in einer Richtung begrenzte gerade Linie heißt Strahl. Ein Strahl ist eine HALBGERADE: weil ? Der Strahl hat einen Anfangspunkt, aber KEINEN Endpunkt! ?______________________________________________? A u A = Anfangspunkt, u = Strahl Das Quadrat: Eigenschaften des Quadrats: Beim Quadrat sind alle vier Seiten gleich lang und die gegenüberliegenden Seiten sind parallel (¦) . Das Quadrat hat vier rechte Winkel. Die von einem Eckpunkt ausgehenden Seiten stehen aufeinander normal (?), das heißt, sie bilden einen Winkel von 90° (Grad). Die Diagonalen des Quadrats sind gleich lang und halbieren einander im Mittelpunkt M und stehen aufeinander normal (?), das heißt: sie bilden einen rechten Winkel von 90°. Die Begrenzungsflächen des Würfels sind Quadrate. Mit dem Zirkel kann ich aus der Strecke von M und einem Eckpunkt den Umkreis zeichnen. Das Quadrat hat vier Symmetrieachsen, die °° lang sind. a, oder s = Name der Seiten; A, B, C, D = Eckpunkte: Beschriftung im GEGENuhrzeigersinn ? d1,d2 = Diagonale: d1 = AC, d2 = BD ? aber Achtung: d = auch Distanz = Abstand! M = Mittelpunkt Das Rechteck: Eigenschaften des Rechtecks: Beim Rechteck sind die gegenüberliegenden Seiten gleich lang und die gegenüber liegenden Seiten sind parallel (¦). Das Rechteck hat vier rechte Winkel. Die von einem Eckpunkt ausgehenden Seiten eines Rechtecks stehen aufeinander normal (?), das heißt, sie bilden einen Winkel von 90° (Grad). Die Diagonalen des Rechtecks sind gleich lang und halbieren einander im Mittelpunkt M. Die Begrenzungsflächen des Quaders sind Rechtecke. Mit dem Zirkel kann ich aus der Strecke von M und einem Eckpunkt den Umkreis zeichnen. Das Rechteck hat zwei Symmetrieachsen, die °° lang sind. a, b = Name der Seiten; A, B, C, D = Eckpunkte: Beschriftung im GEGENuhrzeigersinn ? d1,d2 = Diagonale: d1 = AC , d2 = BD ? aber Achtung: d = auch Distanz, Abstand! M = Mittelpunkt Der Normalabstand eines Punktes von einer Geraden: Der Normalabstand eines Punktes von einer Geraden ist der kürzeste Abstand im Winkel von 90° (= eine Normale auf die Gerade zeichnen und abmessen.) F = Fußpunkt, d = Abstand Distanz: z.B.: dA zu n = der Normalabstand des Punktes A zur Geraden n (Achtung: „d" kann auch „Diagonale" heißen.) PF = ? normal auf g, P ? g Der rechte Winkel: Ein rechter Winkel hat 90 Grad = 90° (Grad) auf dem Winkelmesser. Ein Winkelbogen mit einem Punkt darin kennzeichnet einen rechten Winkel. Wenn zwei Geraden aufeinander normal (? ) stehen, dann bilden sie einen rechten Winkel von 90°. Auf meinem Geodreieck sind ein Winkelmesser mit einer Gradeinteilung und mehrere rechte Winkel eingezeichnet. Die möglichen Winkel: S = Scheitelpunkt, a, b = Schenkel, Winkel werden mit griechischen Buchstaben benannt: ?, ß, ?, d, e, .....?. Spitzer Winkel: 0? bis 89? rechter Winkel = 90? stumpfer Winkel 91? bis 179? gestreckter Winkel= 180? erhabener Winkel : 181? bis 359 Grad voller Winkel = 360? Als Einheit zur Winkelmessung verwendet man den rechten Winkel: 1 Grad (1?) ist der neunzigste Teil eines rechten Winkels: 1? = 1/90 eines rechten Winkel. ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: QUADER und WÜRFEL Der Quader hat: 8 Eckpunkte 6 Begrenzungsflächen 3 verschieden lange Kanten, je 4 davon sind gleich lang 3 verschieden große Flächen und zwar Rechtecke: Je zwei gegenüberliegende Flächen sind gleich groß = deckungsgleich = kongruent. Je zwei Kanten, die einander in einem Eckpunkt schneiden, stehen aufeinander nromal und bilden daher einen rechten Winkel. Die Oberfläche: O = G + D + M 1 Grundfläche = die Basis, 1 Deckfläche und der Mantel = die 4 Seitenflächen bilden die Oberfläche. Der Würfel hat: 12 Kanten: Alle Kanten sind gleich lang. Alle Flächen sind gleich groß. Die Oberfläche: O = G + D +M O = 2 • a • b + 2 • a • c + 2 • b • c = 2 • ( a • b + a • c + b • c) 1 Grundfläche = die Basis, 1 Deckfläche und der Mantel = die 4 Seitenflächen bilden die Oberfläche. Buch Nr. 853, 861, 862, 863, 864. Die Lage von Kanten: 1. parallel: Parallele Kanten sind gleich lang und haben überall den gleichen Abstand. 2. normal: Je zwei in einem Eckpunkt einander schejnidende Kanten stehen aufeinander normal. 3. windschief: Windschiefe Kanten sind weder parallel, noch schneiden sie einander. Buch Nr. 872, 873, 874. Netze von Quader und Würfel: geg: A = 8,64 dm2 b = 2, 4m ges: a, U ………………………………………………. geg: Ein Raum mit einer zu verfliesenden Wand: a = 3, 6 m, b = 2, 4, Fliesen: a1= 12cm ges: Wie viele Stück Fliesen werden für die gegebene Fläche benötigt? A = a• b, A1 = a1 • a1 Wie oft ist A1in A? A : A1 =…. ………………… _ Buch Nr. 1128: ges: 2 • O _ Was ist O ? …………………………………. geg: a = 11, 50m, b = 6, 0 m, c = 3, 50 m _ ges: O _ O = D + M = a • b + 2 • b • c + 2 • a • c ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Volumsmaße: Die Einheit für das Volumen ist das Kubikmeter m3. 1 m3 ist das Volumen eines Würfels mit 1m Kantenlänge. QUADER: WÜRFEL: V = G • h V = a • a • a V = Grundfläche • Höhe V = a • b • c c= h :1000 :1000 :1000 m3 dm3 cm3 mm3 •1000 •1000 •1000 1l = 1dm3 1ml = 1cm3 1ml = 1Milliliter :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Der Umfang: Die Länge des Randes einer Fläche nennt man Umfang = U Umfang Quadrat = U = s ? 4 Umfang Rechteck = U = (2 ? l) + (2 ? b) = (l + b) ? 2 Umfang bei komplizierten Formen: U = Addieren: Einmal um die Fläche herum. Die Fläche: Verschiedene Flächen: welche kennst du und wie heißen sie ? ¯ ¦ ¦ ¦ ? ? ? ? ?? ? ?? Rhombus Flächenberechnung: FlächeRechteck = Länge ? Breite ? F = l ? b FlächeQuadrat = Seite ? Seite ? F = s ? s A = Fläche: Lateinisch: area = Fläche, deshalb kürzt man Fläche ab mit „A". AR = a • b (A = Länge mal Breite) AQ = a • a (A = Seite mal Seite) A= Ar ha = Hektar Die Einheit für den Flächeninhalt ist das Quadratmeter: 1 m2 Ein Quadratmeter ist der Flächeninhalt eines Quadrates mit 1 m Seitenlänge. Man misst den Flächeninhalt, indem man feststellt, wie oft eine Flächeneinheit in der vorgegebenen Fläche enthalten ist. •100 •100 •100 •100 •100 •100 Km2 ha a m2 dm2 cm2 mm2 :100 :100 :100 :100 :100 :100 Von allen Rechtecken mit gleichem Umfang hat das Quadrat den größten Flächeninhalt. Buch Nr: 1023, 1024, 1025, 1027, 1028, 1036, 1039, 1045, 1049. 105´2, 1061, 1062. Flächen, die sich Rechtecken zusammensetzen: Buch Nr. 1065 Paralleldistanz = Parallelabstand: Das ist der normale Abstand einer Parallelen von einer Geraden. (Normal = im Winkel von 90?) p1, p2 = Parallele Parallelverschieben – geht nur mit Geodreieck + Lineal (oder mit 2 Geodreiecken). Zwei parallele Gerade haben überall den selben Abstand. Was ist gemeint mit: Das Ergebnis = die Zahl, die bei einer Rechnung herauskommt. insgesamt = alles zusammen gerechnet pro Person = für jede Person pro Kind = für jedes Kind pro Stück = 1 Stück kostet, jedes Stück kostet á = pro Stück, je z.B.: vier Hefte á 0,75 Eu = jedes Heft kostet 0,75 Eu drei Packungen zu je 0,89 Eu = jede Packung kostet 0,89 Eu zu je 0,75 Eu = jedes Stück kostet 0,75 Eu = 1 Stück kostet 0,75 Eu „bar bezahlen" = gleich bezahlen = sofort bezahlen mit Bargeld (nicht mit Scheckkarte) Wie teuer ist das ? , Wie teuer kommt das ? Wie hoch kommt das = = Wie viel kostet das ? ... kostet pro Stück = 1 Stück kostet (jedes Stück kostet) ... kostet zu je ..... = 1 Stück kostet ... Auf Raten bezahlen = in Teilbeträgen zahlen z.B.: er bezahlt die Rechnung in fünf Monatsraten = er bezahlt jeden Monat einen gleich hohen Teilbetrag (fünf Monate lang, also fünf mal) fast = beinahe, aber doch nicht so viel mindestens = so viel oder mehr, aber keinesfalls weniger wöchentlich = pro Woche = in einer Woche = in 1 Woche täglich = pro Tag = an einem Tag = an 1 Tag monatlich = pro Monat = in einem Monat = in 1 Monat 1 Kalenderwoche hat 7 Tage. Wie viele Tage eine Arbeitswoche hat, muss ich im Textbeispiel nachlesen. z.B.: Ein Mann arbeitet wöchentlich von Montag bis Freitag. = 1 Arbeitswoche hat hier in diesem Beispiel 5 Tage. Der Mann arbeitet an fünf Tagen in der Woche. = 1 Arbeitswoche. 1 Kalendermonat hat 30 oder 31 Tage. (Ausnahme: Februar !) 1 Arbeitsmonat hat so viele Tage (Arbeitstage) wie im Textbeispiel geschrieben steht: ich muss genau nach lesen. Beim „plus und minus"- Kopfrechnen: ? Zuerst die Hundertmilliarden dann die Zehnmilliarden dann die Milliarden dann die Hundertmillionen dann die Zehnmillionen, dann die Millionen, dann die Hunderttausender, dann die Zehntausender, dann die Tausender, dann die Hunderter, dann die Zehner, dann die Einer. Das dekadische Zahlensystem: = Das 10er System deka = griechisch und heißt „zehn". Das Zehnersystem ist ein Stellenwertsystem. Es gibt zehn Ziffern 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. ? das sind die arabischen Zahlzeichen. Mit diesen Ziffern werden die Zahlen gebildet. Stellenwerttafel: HB, ZB, B/ HMd, ZMd, Md/ HM, ZM, M/ HT, ZT, T / H, Z, E Billionen, Milliarden, Millionen, Tausender, Hunderter, Zehner, Einer Jeweils zehn gleiche Einheiten werden zur nächsten größeren Einheit zusammengefasst. Z.B.: 784 ist eine Zahl, der Stellenwert = 4E 8Z 7H 4, 7, 8 sind nur einzelne Ziffern oder z.B.: 1 392 ist eine Zahl – aber – 9, 3, 2, 1 sind die Ziffern der Stellenwert = 2 E 9Z 3H 1T Beim Schreiben der dekadischen Einheiten wird die Ziffer 0 nicht angegeben: z. B.: 4M 7 HT 3T 2H 8E = 4 703 208 fehlen Stellenwerte, so schreibt man eine Null dazu. Jede Zahl hat bestimmte Ziffern. Jede Ziffer in einer Zahl hat einen bestimmten Ziffernwert und einen bestimmten Stellenwert. Anders gesagt: Ziffernwert = 9 9 9 9 9 9 9 Eine Zahl hat Ziffernwerte und Stellenwerte: z. B. Zahl: 9 9 9 9 9 9 9 Stellenwert = M Ht Zt T H Z E Große = hohe Zahlen: 10 ? 10 = 100 100 ? 10 = 1 000 100 ? 100 = 10 000 1000 ? 1000 = 1 000 000 = 1 Million = 1M , 1 000 000 hat sechs Nullen = 1M 100 000 hat fünf Nullen = HT 10 000 hat vier Nullen = ZT 1 000 hat drei Nullen = T 100 hat zwei Nullen = H 10 hat eine Null = Z 1 hat keine Null = E Die Ziffern einer Zahl werden in Dreiergruppen angeschrieben: 1 323 567 000 Beim Schreiben von Zahlen lasse ich zwischen T und H einen kleinen Abstand: z.B. 3 000, 3 333, 7 812, usw.. Ebenso mache ich es zwischen Millionen und Hunderttausendern: z.B.: 1 000 000 z.B.: 3 407 881 Division durch dekadische Einheiten: Beim Dividieren durch reine Zehnerzahlen (10, 50, 90, 100, 300, 1000, u.s.w.) kann ich dann die Nullen wegkürzen, wenn die Zahlen in den Malreihen ohne Rest enthalten sind, das heißt: wenn im Insätzchen 0 Rest bleibt. Die römischen Zahlzeichen: Die Römer verwendeten nur 7 Zahlenzeichen: M = 1000 ….. (= Mille = Tausend) C = 100 ..... (=Centum = Hundert) D = 500 L = 50 X = 10 V = 5 I = 1 Regel 1: Es dürfen nur 3 gleiche Zeichen nebeneinander stehen! Regel 2: Steht das Zahlenzeichen mit dem GRÖßEREN Wert VORNE vor dem Zahlenzeichen mit dem kleineren Wert, dann wird addiert. z.B.: II = 2 III = 3 VI = 6 VII = 7 VIII = 8 XI = 11 XII = 12 XIII = 13 CII = 102 MII = 1002 CLV = 155 MCCX = 1210 MDCLII = 1652 DCCCLXXVI = 876 MM = 2000 MMM = 3000 Regel 3: Steht das Zahlenzeichen mit dem KLEINEREN Wert VORNE vor dem Zahlenzeichen mit dem größeren Wert, dann wird subtrahiert. z.B.: IV = 4 ? „5 weniger 1" IX = 9 ? „10 weniger 1" XC = 90 ? „100 weniger 10" XL = 40 ? „50 weniger 10" XCV = 95 ? „100 weniger 10, und 5" CD = 400 ? „500 weniger 100" XXIX = 29 ? „10 und 10, und: 10 weniger 1" ============= Außerdem: ICM = Abkürzung für: International Congress of Mathematicians 899 = DCCCXCIX MMV= 2005 MCMXCVIII = 1998 MCMXCIV = 1994 Natürliche Zahlen: nat. Z. { } = Mengenklammer N = natürliche Zahlen: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ....} Es gibt 8 viele natürliche Zahlen = „ohne" Nx = {1, 2, 3, 4, 5, ...} = N {0} Ng = natürliche gerade Zahlen: Ng = {0, 2, 4, 6, 8, ............} es geht ? weiter. Nu = natürliche ungerade Zahlen = {1, 3, 5, 7, 9, ............} es geht ? weiter. Ordnung: 0 < 1 < 2 < 3 < ............. ? das ist die Ordnungskette ? = unendlich Alle natürlichen Zahlen haben einen Nachfolger. Alle natürlichen Zahlen außer 0 haben eine Vorgänger. Wenn man Zahlen mit bestimmten Eigenschaften zusammenfasst, erhält man eine Zahlenmenge. Jede Zahl, die zu einer bestimmten Menge gehört, heißt: Element dieser Menge. ? = ... ist Element von ... ? = .... ist nicht Element von ... Mengen: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von unterschiedlichen Dingen (Elementen) mit einer gemeinsamen Eigenschaft. Jedes Element in der Menge darf nur einmal vorkommen. Mengen können dargestellt werden durch: 1. ein Mengendiagramm (= Mengenbild) 2. das aufzählende Verfahren: Jedes Element wird einzeln angegeben; nur bei endlichen Mengen. 3. das beschreibende Verfahren entweder in Worten oder in mathematischer Schreibweise; z. B.: alle nat. Zahlen von 1 bis 5; oder alle nat. Zahlen zwischen 0 und 6 M = Menge x, y, z, ... sind Platzhalter = Variable für natürliche Zahlen N = natürliche Zahlen | = „für die gilt" <= kleiner > = größer == kleiner gleich = = größer gleich M = {x ? N / 1 = x = 5} { } = leere Menge (die leere Menge enthält keine Menge) ? = unendlich ein Vielfaches: z.B. : die Vielfachen von 6 ............. = die Ergebnisse der Sechserreihe; alle Vielfachen von 10 ........ = die Ergebnisse der Zehnerreihe D = Durchschnittsmenge: Die Durchschnittsmenge zweier Mengen A und B ist die Menge jener Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören. ?= „geschnitten mit ..." = Durchschnitt z.B.: D = A ? B V = Vereinigungsmenge: Die Vereinigungsmenge zweier Mengen A und B ist die Menge jener Elemente, die entweder zu A oder zu B oder zu beiden gehören. ? = „vereinigt mit ....." T = Teilmenge: Eine Menge T heißt Teilmenge einer Menge M, wenn jedes Element von T auch Element von M ist. Die leere Menge und die Menge selbst sind stets Teilmengen. C = „... ist Teilmenge von ....." Mengen, die die gleichen Elemente enthalten, heißen gleiche Mengen: A = B Darstellen der natürlichen Zahlen auf dem Zahlenstrahl: E = Einheit, z. B.: 1 E = 1 cm , oder: 1 E = 3 cm = ......„entspricht" (^) 01 = 1 E = 1cm (^) 01 = Einheitsstrecke = E: E = 1cm A = Anfang(spunkt) Bildpunkt: der Bildpunkt/d. Bildpunkte sind ? des Strahls und mit „x" markiert. ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Die Dezimalzahlen: Am Beispiel eines Lineals oder eines Maßbandes: 1cm wird in 10 gleiche Teile geteilt ? 1 Teil ist dann ein Zehntel von 1cm. 1cm = 10mm ? 1mm = 1/10 cm = 0,1cm ? Komma 1 Zähler 10 Nenner ?Bruchstrich Der Nenner: gibt an, in wie viele Teile ein Ganzes geteilt wurde. Der Zähler: gibt an, wie viele solche Teile gemeint sind. Das Stellenwertsystem: ? 10 ? , ? : 10 HT ZT T H Z E , z h t zt ht ................. Komma Links vom Komma: Rechts vom Komma: Steht das Steht das: Dekadische Zahlensystem Dezimalzahlensystem „deka" = Griechisch: Zehn „Dezi" = Lateinisch: Zehntel Dekadisches System Dezimales System ................................................................................................................................................. Längenmaße in Dezimalschreibweise: RB S. 100, 105 – 107 1m = 10 dm ? 1 dm = 0, 1m , z 1m = 100cm ? 1cm = 0, 01m , z h 1m = 1000mm ? 1m = 0, 001km , zh t Die Einheit der Länge ist das Meter (m). Ein Meter ist die Länge des „Pariser Urmeterstabes". „Messen" heißt: mit einer Einheit vergleichen. • 1000 • 10 • 10 • 10 Km m dm cm mm : 1000 : 10 : 10 :10 Verwandelt man von einer größeren Einheit in eine kleinere Einheit, so rutscht das Komma nach rechts - hinten. z.B.: E 1, km = 1 000, m 1, 2 km = 1 200, m 3, 27 m = 32, 7 dm Verwandelt man von einer kleineren Einheit in eine größere Einheit, so rutscht das Komma nach links - vor. z.B.: 100, cm = 10, dm = 1, m 2, dm = 0,2 m 30, m = 0, 030km Geld in Dezimalschreibweise: RB S.109 1 € = 100c 2 c = 0, 01 € z h ................................................................................................................. Massenmaße (= Gewichtsmaße) in Dezimalschreibweise: RB S. 111, 113 Die Einheit der Masse ist das Kilogramm ( 1kg). t = Tonne kg = Kilogramm dag = Dekagramm (von „Deka" = Griechisch: Zehn g = Gramm dg = Dezigramm (von „Dezi" = Lateinisch: Zehntel) cg = Zentigramm (von „Centum" = Lateinisch: Hundertstel mg = Milligramm (von „Milli" = Lateinisch: Tausendstel)) ..................................................................................................................... Darstellen und Ordnen von Dezimalzahlen: RB S. 113, 115 z. B.: 1, 2; 2, 7; 3, 1 ^ 1 E = 1cm ^ 1mm = 0,1cm Dezimalzahlen auf dem Zahlenstrahl: 0 = A A = Anfangspunkt |____________________________________? 0 = A Man kann Dezimalzahlen genauso wie natürliche Zahlen auf dem Zahlenstrahl darstellen. Je weiter rechts eine Zahl auf dem Zahlenstrahl steht, desto größer ist sie; je weiter links eine Zahl auf dem Zahlenstrahl steht desto kleiner ist sie. Jede natürliche Zahl kann auch als Dezimalzahl angeschrieben werden. Addieren und Subtrahieren von Dezimalzahlen: z.B.: 2, 5m + 3, 04m Oder: 2, 50m + 3, 04m = 5, 54m  250cm + 304 cm = 554 cm = 5,54m Nr.: E, zh 2, 50 3, 04 5, 54 Komma unter Komma! Die Stellenwerte müssen richtig untereinander geschrieben werden. Es gelten weiterhin die Rechengesetze wie bei den natürlichen Zahlen. z.B.: ? ? ?Wo nichts mehr steht ist eine Null: 04, 725 + 1, 380 = 6, 105 4, 725 000 + 1, 380 000 = 6, 105 000 Der Maßstab von Landkarten: Mathematisches Zeichen: ? = „daher" Merksatz: Eine Landkarte ist ein verebnetes, maßstabgetreues, verkleinertes durch Farb- , Schrift- und Karten-Zeichen erläutertes Grundrissbild eines Teiles der Erdoberfläche. Der Maßstab gibt an, in welchem Verhältnis die Strecken in der Natur zu den Strecken auf der Landkarte (Kartenstrecken) verkürzt worden sind. „zu" z. B.: der Maßstab 1 : 10 000: 1 cm auf der Landkarte sind (entsprechen) 10 000 cm in der Natur. Merksatz A: „hat" 1 m = 100 cm: 100 hat 2 Nullen und wir streichen diese 2 Nullen zum Umrechnen von cm in m ? „cm in m = : 100", weil 1m = 100cm. ? 10 0ØØ cm = 100m ? 32 000 0ØØ cm = 320 000 m Merksatz B: m in km umrechnen „ist : 1000", weil 1km = 1000 cm ? 3 Nullen streichen: ? 320 ØØØ m = 320 km Merksatz A und B in 1 einzigen Rechenschritt ausgeführt: cm in km umrechnen „ist : 100 000", weil 1km = 100 000 cm ? (2 Nullen + 3 Nullen streichen) = ? 5 Nullen streichen: ? 32 0ØØ ØØØ cm = 320 km Der Schulglobus: „zu" Der Schulglobus hat den Maßstab 1 : 32 000 000; 1 cm auf dem Schulglobus entsprechen (=) 32 000 000 cm in der Natur. cm in m umrechnen = : 100, weil .... ? 2 Nullen streichen ? 32 000 0ØØ cm = 320 000 m m in km umrechnen = : 1000, weil ..... ? 3 Nullen streichen ?320 ØØØm = 320 km Diese beiden Rechenschritte kann ich auch in 1 Rechenschritt ausführen: cm in km umrechnen = : 100 000, weil 1km = 100 000cm ?2 Nullen + 3 Nullen = 5 Nullen ? 5 Nullen streichen, das bedeutet eine Division durch 100 000, weil 100 000cm = 1km. ? 32 0ØØ ØØØcm = 320km ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Zur Erinnerung: 32 000 000: 32 000 00Ø : 1Ø = 3 200 000 32 000 0ØØ : 1ØØ = 320 000 32 000 ØØØ : 1ØØØ = 32 000 32 00Ø ØØØ : 1Ø ØØØ = 3 200 32 0ØØ ØØØ : 1ØØ ØØØ = 320 Leistungsfeststellung: 2 Schularbeiten pro Semester Mitarbeit: Hausübungen, Stundenwiederholungen, Formelwiederholungen Ständige Beobachtung im Unterricht ............................................................................................................................ Schularbeitsstoff 1. Schularbeit: Dekadische Einheiten Runden Römische Zahlen Geometrische Grundbegriffe Addition und Subtraktion von Strecken Strahl Gerade Wiederholung der Add., Subtr., Div. und Multipl.. :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Schularbeitsstoff für die 2. Schularbeit: Normalabstand eines Punktes von einer Geraden Rechteck und Quadrat, mit Symmetrieachsen und Normaldistanz dA, dB, ... Die Arten von Winkeln mit Messen und Zeichnen Die natürlichen Zahlen N, Nx, Nu, Ng: Ordnungskette Darstellung auf dem Zahlenstrahl Mengen: Mengendiagramm, aufzählendes Verfahren, beschreibendes Verfahren Durchschnittsmenge Vereinigungsmenge Teilmenge Addition und Subtraktion natürlicher Zahlen: Addition von Strecken Addition auf dem Zahlenstrahl Rechenbefehl Rechenbaum Klammervorrang Rechengesetze: Vertauschungsgesetz Klammervertauschungsgesetz Umkehrrechnung Gleichungen (47. Schulübung) :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Schularbeitsstoff für die 3. Schularbeit – ab 12. 1. 06 bzw. ab 48. Schulübung Addition und Subtraktion: Mehrere Summanden und mehrere Subtrahenden 1. Die Multiplikation: Mit dekadischen Einheiten Überschlagsrechnung 2. Division durch dekadische Einheiten 3. Dividieren durch mehrstellige Zahlen 4. Die Verbindung der 4 Grundrechnungsarten 5. Regel f. d. Herausheben gemeinsamer Faktoren = Distributivgesetz 6. Die Dezimalzahlen: Brüche, Stellenwertsystem a) Längenmaße in Dezimalschreibweise b) Geld in Dez.schr.w. c) Massenmaße in Dez.schr.w. d) Darstellen u. Ordnen von Dezimalzahlen e) Addieren u. Subtrahieren von Dezimalzahlen f) g) h) ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: FORMELSAMMLUNG: 1. Das Vertauschungsgesetz = das Kommutativgesetz: a + b = b + a a ? b = b ? a 2. Das Klammervertauschungsgesetz = das Assoziativgesetz: (a + b) + c = a + (b + c) (a ? b) ? c = a ? (b ? c) 3. Das Verteilungsgesetz = Distributivgesetz: a · b + a · c = a · ( b + c ) a · b – a · c = a · ( b – c ) = Die Regel zum Herausheben gemeinsamer Faktoren 4. Vorrangregeln: 1. Die Klammer hat immer Vorrang! 2. Die Rechnungsarten 2. Stufe (?, ?) haben Vorrang vor den Rechnungsarten 1. Stufe (?, ? ) !! Kurz: Punktrechnung vor Strichrechnung!! 5. FlächeRechteck = Länge ? Breite ? F = l ? b, R= a • b 6. FlächeQuadrat = Seite ? Seite ? F = s ? s, AQ = a • a 7. Umfang Rechteck: U__ = (2 ? l ) + ( 2 ? b ) = ( l + b ) ? 2 8. Umfang Quadrat: U? = s ? 4 9. Umfang schwierigerFiguren ¦?¦: einmal rundherum - addieren. 1 ............................................................................................................................... |
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