Mathematische Begriffserklärung:


Eine Definition = ist eine genáue Erklärung eines  Begriffes.

Der Begriff -"das Verhältnis zueinander" meint und bedeutet:
Das Verhältnis       5 „zu" 3
Die Lage zueinander  Mathematik: z.B.  5 : 2 oder 3 : 7 oder 2 : 1 oder ...........
Die Relation zueinander,
die Beziehung zueinander,
das Maß zueinaner,
die Maßgabe zueinander,
Verbindung zueinander,
Affinität zueinander,
Bezug zueinander,
Kontakt zueinander,
ein Zusammenhang zueinander

Geometrie 3. Klasse:

 

Das Koordinatensystem:

 

Die Zeichenebene wird in 4 Quadrante (I, II, III, IV) aufgeteilt.

Um auch Punkte außerhalb des bereits

bekannten Koordiantensystems ⁺x und ⁺y der

2. Klasse in Mathematik festzulegen, werden die Koordinatenachsen

(x-Achse und y-Achse) nach links und nach unten verlängert und somit

werden die Koordinatenachsne zu Zahlengeraden erweitert!

 

Punkte werden jeweils mit 1 x-Wert und 1 y-Wert angegeben

z.B. A(x / y) …. A(0 / 0), A (0/5) ...A( 9 / - 3)

 

Der Winkel:

 

Der Winkel wird in Winkelgrad 0° bis 360° gemessen:

1 Winkel-Grad 1° = 1 .
                                 360    eines Vollkreises

 

1 Winkel- Grad 1° = 60’ Winkelminuten und und 3600’’ Winkelsekunden

 

 

Dreiecke:

 

Schiefwinkeliges Dreieck:

 

Winkelsumme im Dreieck ist immer 180 °: α + β + γ = 180°

 

 

Gleichschenkeliges Dreieck: a = b

 

a² = h_c² + ( c / 2 )²

A = c  h_c = a  h_a
          2             2

 

 

Gleichseitiges Dreieck: a = b = c  α = β = γ

 

Der Höhenschnittpunkt H im Dreieck

ist der Schnittpunkt aus den Seitenhöhen h_c, h_a und h_b.

 

Der Schwerpunkt S ist der Schnittpunkt der

Schwerlinien AM_BC, BM_AC, CM_AB im Dreieck.

 

Der Umkreismittelpunkt

ist der Schnittpunkt der Streckensymmetralen S_AC, S_BC, S_AB des Dreiecks.

(Die Symmetralen stehen im rechten Winkel auf die dazugehörige Seite.)

 

Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelsymmetralen im Dreick.

 

 

Rechtwinkeliges Dreieck:

 

 

A _{rechtwinkeliges Dreieck} = ½  A_Rechteck = ½  ( ab) = a  b
                                                                                                       2

A_rechteck = ½  (Kathete 1  Kathete 2)

 

A = a  h_a = c  h_c
          2             2

 

a, b, c ..... es gilt der SSW-Satz: c, a, γ

a und b sind die Katheten, die den rechten Winkel, 90°, einschließen:

c ist die Hypothenuse, die dem rechten Winkel  = 90°, gegenüberliegt,

 

Pythagoräischer Lehrsatz = Satz des Pythagoras: a² + b² = c²

 

Die Summe der beiden Kathetenquadrate ist gleich dem Hypothenusenquadrat.

 

 = Wurzelzeichen

 

c² = a² + b²

 

c =  a² + b²

 

Exkurs in die Arithmetik:

Das Wurzelziehen:

Das Wurzelziehen ist die Umkehrrechnung zum Potenzieren.

Speziell: Das Quadratwurzelziehen ist die Umkehrung zum Quadrieren.

Das Kubikwurzelziehen ist die Umkehrung zum Kubieren.

Man kann nur aus positiven Zahlen und aus der Zahl Null die Wurzelziehen!

 

 

Wenn 3 Zahlen die Beziehung a² + b^{2 =} c² erfüllen,

so heißen sie Pythagoräische Tripel: z. B. 3, 4, 5

6, 8, 10

5, 12, 13

9, 12, 15 usw.

Anwendungen des pythagoräischen Lehrsatzes: 3.Kl. 877fff

 

 

Vierecke:

 

Allgemeines Viereck: a, b, c, d = die Seiten und e, f = die Diagonalen

 

α + β + γ + δ = 360°

 

Das Rechteck: hat 4 rechte Winkel

A = a  b

Flächen aus zusammengesetzten Rechtecken:

A I + A II + A III = A _gesamt

Umfang_Rechteck = (a + b)  2

 

Aus Rechtecken zusammengesetzte Fläche:

 

A I + A II + A III = A

 

 

Das Quadrat: A = a  a = a²

Umfang_Quadrat = a  a = a²

 

 

 

 

Das Drachenviereck = das Deltoid: A = e  f

2

AC = e e = Diagonale

BD = f f = Diagonale

β = δ

 

e halbiert f

e und f stehen aufeinander normal:

Es entsteht ein Rechteck: A = e  f  A _Deltoid = e  f
                                                              2                            2

 

 

 

Das Trapez:  ( a c ) A_Trapez = (a + c)  h
                                                                  2

Das gleichschenkelige Trapez hat einen Umkreis.

Im gleichschenekeligen Trapez ist h Symmetrieachse des Trapezes

und halbiert die Seiten a und c.

Im gleichschenkeligen Trapez:  =  und  = 

 

(Umkehraufgaben 3.KL 788ffff)

 

 

 

 

 

Das Parallelogramm: a  c, b  d , und a = c , b = d, α = γ , β = δ

α + β = 180° und γ + δ = 180° 

 α + β + γ + δ = 360°

 

Das Parallelogramm ( // ) ABCD ist flächengleich dem Rechteck EFCD 

 A _{Parallelogramm} = a  h_a oder A _{Parallelogramm} = b  h_b

 

Berechnung des Mittelwertes m der beiden Flächen:

 

A1 = a  h_a

A2 = b  h_b

 

m = A₁ + A₂
                 2

 

(Dazu gibt es Umkehraufgaben Mathematikbuch 3, Nr 733 fff )

 

Teilt man ein Parallelogramm entlang einer Diagonale in 2 Hälften,

so entstehen zwei deckungsgleiche (kongruente) Dreiecke. 

 

 Flächeninhalte des Dreiecks:
A = a  h_a oder b  h_b oder c  h_c
         2                           2                         2

 

 Spezialfall des Paralellogramms - Rechtwinkeliges Dreieck (SÜ 3.KL. 4.2.2007):

 

A = a  b  c  hc (wobei der Außenwinkel von Dreieckswinkel  90 ° ist)
         2              2

 

(SWS-Satz, Umkehraufgaben 3.KL 18.2.u.19.2.07)

 

 

Der Rhombus – oder - die Raute:

 

e und f sind die Winkelsymmetralen und stehen aufeinander normal,

 

die gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß  =  und  =  ,

 

a = b ,

 

und e und f halbieren einander.

Der Rhombus / die Raute ist

ein spezielles Deltoid und ein spezielles Parallelogramm,

deshalb gelten beide Formeln für den Flächeninhalt:

 

A = e  f = a  h_a
          2

Fläche auf 2 Arten berechnen und m, den Mittelwert ermitteln ( und runden):

 

m = A1 + A2
              2

Die Ähnlichkeit geometrischer Figuren:

 

Ähnliche Figuern haben gleiche Gestalt, aber verschiedene Größen -

zum Unterschied von

kongruenten (=deckungsgleichen) Figuren,

die sowohl gleiche Gestalt und auch gleiche Größe haben.

 

 

Ähnliche Dreicke:

 

Zwei Dreicke sind ähnlich,

wenn einander entsprechende Winkel gleich groß sind.

 

Der Strahlensatz:

 

Konstruktionsvorgang:

Von Punkt A aus zieht man eine beliebige Hilfslinie, auf der man 5 (T1 ...T5) gleich lange Strecken aufträgt.

Den Endpunkt T5 verbindet man mit dem Endpunkt B;

und dann verschiebt man durch die Punkte T1,T2,T3,T4 parallel.

 

1. Strahlensatz:

 

► AT : TB = AT₅ : T₅T₇

► AT : AB = AT₅ : AT₇

(Man kann zur Bezeichnung auch andere Buchstaben verweden.)

 

1. Strahlensatz:

Die Längen zweier Abschnitte auf dem einen Strahl entsprechen

den entsprechenden Abschnitten auf dem anderen Strahl.

 

2. Strahlensatz:

 

► A₃T₃ = AT₃ : T₃T₇

► A₃T₃ : A₄T₄ = AT₃ : AT₄

 

2. Strahlensatz:

Die Abschnitte auf den Parallelen verhalten sich wie die

entsprechenden von Scheitel A ausgehenden Strecken

auf jedem der beiden Strahlen.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Arithmetik:

 

 

 

 

Einführung der Ganzen Zahlen Z:

 

 

 

Beispiel Quecksilber-Thermometer:

 

+50° Celsius

 

Plusgrade

 

 

O° Celsius

 

 

 

Minusgrade

 

-50° Celsius

 

 

 

Die Raumtemperatur oder die Außentemperatur

unter Null Grad (= unter dem Gefrierpunkt des Wassers)

wird am Thermometer durch eine Negative Zahl angegeben.

 

Bis Ende der 2. Klasse - in N - konnten wir die Subtraktion nur dann durchführen, wenn der Minuend größer als der Subtrahend war:

Minuend  Subtrahend

 

Durch die Einführung neuer Zahlen ist die Subtraktion nun unbeschränkt durchführbar: NEGATIVE GANZE ZAHLEN

Die Natürlichen Ganzen Zahlen N* bekommen ein positives Vorzeichen + und heißen somit jetzt Positive Ganze Zahlen.

Null hat KEIN Vorzeichen!

                 ^

Z⁺ = +1; +2; +3; …..  = N* Positive Ganze Zahlen

                 ^

Z^- = -1; -2; -3; …..  = Negative Ganze Zahlen

Z⁺ = x  Z / x > 0

Die Menge aller x,

die Element der Ganzen Zahlen sind, für die gilt: x ist größer als Null.

Z^- = x  Z / x < 0 Die Menge aller x,

die Element der Ganzen Zahlen sind, für die gilt: x ist kleiner als Null.

 

Z = Z^-  0  Z^{+ …}

Z ist die die Menge der Ganzen Zahlen

und ist die Vereinigungsmenge von Z^- und Null und Z⁺.

 

Darstellung von Z auf der Zahlengeraden:

^

1 E = 1cm

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7

<—/——/——/——/——/——/——/——/——/——/——/——/——/——/——/—>

 

z.B: -3, +1 Beim Subtrahieren auf dem Zahlenstrahl

wird “zurückgezählt” – nach links

beim Addieren wird “vorgezählt” – nach rechts

 

unterscheide: Vorzeichen von Rechenzeichen:

z.B.: +5°- 2°= +3°

  

Vorzeichen Vorzeichen

Rechenzeichen

 

Die Ordnung der Ganzen Zahlen:

…..< -6 < -5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < +1 < +2 < +3 < +4 < +5 < ….

Die links liegende Zahl ist immer oleine als die rechts liegende Zahl.

z.B: -7 < -3 , -2 > -8, +7 > +3, +1 > -3

 

Eigenschaften der Ganzen Zahlen:

Jede Zahl hat einen Vorgänger und einen Nachfolger;

es gibt weder eine größte Ganze Zahl

noch gibt es eine kleinste Ganze Zahl.

 

Allgemein:

+a und –a sind Gegenzahl

-a und –(-a) = +a

Zahl und Gegenzahl unterscheiden sich durch das Vorzeichen: + oder –

Zahl und Gegnzahl haben beiden den gleichen Abstand vom Nullpunkt auf dem Zahlenstrahl (siehe oben!). -

- Das ist der “absolute Betrag”: |-4| = +4 | xyz | …Betragszeichen

| +a| = | -a| = a

 

Der Betrag einer Ganzen Zahl ist eine Natürliche Zahl.

Speziell: | 0 | = 0

 

Addieren und Subtrahieren Ganzer Zahlen:

Es gelten weiterhin alle Rechenegesetze der Natürlichen Zahlen

Man kann ganze Zahlen auf der Zahlengeraden nicht nur durch Punkte (x) , sondern auch durch Pfeile darstellen:

nach links  negativ (a < 0)  nach rechts  positiv (a > 0)

 

Addieren auf der Zahlengeraden:

Zahlen werden addiert, indem man in den Enden des 1. Pfeiles, der Spitze, den Anfangspunkt des zweiten Pfeiles setzt.

 

Subtrahieren auf der Zahlengeraden:

Zahlen werden subtrahiert, indem man in den Endpunkt des 1. Pfeiles, den Schaft, den Endpunkt (Schaft) des zweiten Pfeiles setzt.

 

Das Subtrahieren einer Zahl führt zum selben Ergebnis wie das Addieren ihrer Gegenzahl.

 

Regeln für das Weglassen von Vorzeichen  Vorzeichenregeln:

a + (+b) = a + b

a + (- b) = a - b

a - (+ b) = a - b

a - (- b) = a + b

 

Hat eine Zahl kein Vorzeichen,

so ist sie wie eine positive Zahl (+) zu behandeln.

 

--- Das KG = Kommutativgesetz gilt nicht! ----

--- Das AG = Assoziativegesetz gilt nicht ! ---- Buch Nr. 65 u. 66

 

Hebt man ein Minus-Zeichen aus der Klammer heraus, so ändern sich in der Klammer die Vorzeichen. (Bsp. Nr 82, 83)

 

Multiplikation und Division Ganzer Zahlen:

 

Die Multiplikation einer Zahl mit –1 oder ( - 1) liefert die Gegenzahl.

(+a) ٠ ( -1) = - a

(- a) ٠ ( -1) = +a

 

Vorzeichenregeln der Multiplikation:

(+a) ٠ (+b) = + (a٠b)

(+a) ٠ (- b) = - (a ٠ b)

(- a) ٠ (+b) = - (a ٠ b)

(- a) ٠ ( - b) = +(a ٠ b)

 

Übe die Darstellung der Multiplikation auf der Zahlengeraden!!! SÜ 5.11.07

 

Rechengesetze:

 

1) Das Kommutativgesetz: a٠b = b٠ a

2) Das Assoziativgesetz: (a ٠ b) ٠c = a ٠ (b ٠ c)

3) Das neutrale Element ist 1: a ٠ 1 = a

4) Das Distributivgesetz: (a + b) ٠ = a ٠ c + b ٠ c

5) a ٠ 0 = 0 !!!

 

Ein Produkt (das Ergebnis einer Multiplikation) ist dann Null,

wenn einer der Faktoren Null ist. Bsp106-112

 

Bei der Division gelten die gleiche Vorzeichenregeln wie bei der Multiplikation, aber: Durch Null darf man nie Dividieren!

 

----- Das KG = Kommutativgesetz gilt nicht !!! ----- Bsp 123)

 

Buch Seite 32:

Die Vorzeichenregeln der Ganzen Zahlen sind bei der Division die oleiche wie bei der Multiplikation, weil die Division die Umkehrrechnugn zud Divison ist.

 

Die Verbindung der vier Grundrechnungsarten: Bsp 126 ff - 140

 

Z⁺

N

N⁰

 

Die Rationalen Zahlen Q:

 

Rationale Zahlen können in der Form von

1. Dezimalzahlen und als

2. Bruchzahlen

dargestellt werden.

 

1. Endliche Dezimalzahlen: 1/5 = 0, 2

●

2. Rein periodische Dezimalzahlen: 1/3 = 0, 3

P ●

3. Gemischt periodiche Dezimalzahlen: 7/30 = 0, 233 = 0, 2 3

a) Vorperiode <> b) Periode >>> V P

 

Grundsätzlich gelten beim Rechnen mit Rationalen Zahlen dieselben Vorzeichenregeln wie bei den ganzen Zahlen und dieselben Rechenregeln wie bei den Bruchzahlen.

 

 

 

 

 

 

 

Das Wurzelziehen:

Das Wurzelziehen ist die Umkehrrechnung zum Potenzieren.

Speziell: Das Quadratwurzelziehen ist die Umkehrung zum Quadrieren.

Das Kubikwurzelziehen ist die Umkehrung zum Kubieren.

Man kann nur aus positiven Zahlen und aus der Zahl Null die Wurzelziehen!

 

 

±έεάαβγδεζηθєєє*+-<=>[]^{|}±²³µ¹º¼½¾×Ø÷˚αβγδεζηθικλμνω±٭٠ – —•‰″′‹›⁄₤€−∕∙∙√∞∫≈≠≤≥□●◦﴾﴿  | | 

 

 

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