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Mathematik 2
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Mathematik 2 Arithmetik: Die Teilbarkeit der natürlichen Zahlen: Ein Teiler teilt eine Zahl; z. B.: Die Teiler von 12: 12, 2, 3, 4, 6, 1 Die Teiler von 9: 9, 3, 1 Die Teiler von 3: 3, 1 Die Teiler von 20: 20, 10, 5, 4, 2, 1 1 und die Zahl selbst sind stets (= immer) Teiler, und zwar so genannte unechte Teiler: a / a, a / 1 / ….. teilt / ….. teilt nicht Eine Zahl a ist Teiler einer Zahl b, wenn b durch a ohne Rest teilbar ist: a / b … sprich: „a teilt b" Die Menge aller möglichen Teiler nennt man Teilermenge T. B19/51 Teilbarkeitsregeln: Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn an der Einerstelle eine Null = 0 steht. 10, 20, 30, 40 …. Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn an der Einerstelle eine 0 oder 5 steh:. 5, 10, 15, 20, 25 , 30, ….. Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn an der Einerstelle eine gerade Zahl steht: 0, 2, 4, 8, ….. Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 3 teilbar ist: z.B.: 3 / 24741 ? 2+4+7+4+1 = 18 ? 3 / 18 Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist: z. B.: 4 / 27332 Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 9 teilbar ist. Ist eine Zahl durch 9 teilbar, dann ist sie auch durch 3 teilbar (Die Umkehrung dieses Satzes muss aber nicht gelten!). Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die aus den letzten beiden Stellen gebildete Zahl durch 25 teilbar ist. 00, 25, 50, 75, 100, 125, …………… Eine Zahl ist durch 100 teilbar, wenn an der Einer- und Zehnerstelle eine 0 steht. 100, 200, 300, 400 ….... Die Summenregel, Differenzregel: Teilt a zwei Zahlen b und c, so teilt a auch die Summe oder Differenz der beiden. ? = „und" Zahlen: a / b ? a / c ? a / (b ? c) Die Produktregel: Wenn eine Zahl a eine Zahl b teilt, so teilt a auch ein Vielfaches von b. a ? a / (b • m) m ? N teilbar durch 4: Außerdem nach der Produktregel: 100, 104, 108, 112, 116, …………… 4 / 4 ? 4 • 25 = 100 Teilbar durch 4: Außerdem nach der Summenregel: 628 = 600 + 28 4 / 600 ? 4 / 28 ? 4 / 628 …………………. 1 782 = 1700 + 82 4 / 1700, 4 teilt nicht 82 ? 4 teilt nicht (1700+82) ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Primzahlen: Zahlen, die nur 2 Teiler (1 und sich selbst) haben, nennt man Primzahlen. Die Zahlen 0 und 1 gelten nicht als Primzahlen. Zahlen, die sich als Produkt von Primzahlen darstellen lassen, nennt man zusammengesetzte Zahlen. Das Verfahren zur Zerlegung in Primzahlen nennt man Primfaktorenzerlegung. Primzahlen sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ……….(u.v.a. höhere) Das „Sieb des Eratosthenes" ist ein Verfahren zur Bestimmung der Primzahlen. Die Primfaktorenzerlegung: Man dividiert durch die kleinste mögliche Primzahl, die in der gegebenen Zahl ohne Rest enthalten ist. Man führt dieses Verfahren so lange fort, bis der Quotient 1 ist. Der größte gemeinsame Teiler: ggT Der größte gemeinsame Teiler zweier oder mehrerer Zahlen hat folgende Eigenschaften: a) Er ist Teiler jeder dieser Zahlen. b) Unter den gemeinsamen Teilern dieser Zahlen ist er der größte Teiler. Zwei oder mehrere Zahlen, die nur 1 als ggT haben, heißen teilerfremd (relativprim). Merksatz: Der größte gemeinsame Teiler ist eine Durchschnittsmenge der Primfaktoren zweier oder mehrerer Zahlen deren Produkt den größten gemeinsamen Teiler bildet. Ich wähle jene Primfaktoren aus, die diesen Zahlen gemeinsam sind. Das kleinste gemeinsame Vielfache: kgV Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier oder mehrerer Zahlen hat folgende Eigenschaften: a) Es ist Vielfaches jeder dieser Zahlen. b) Unter den gemeinsamen Vielfachen dieser Zahlen ist es das kleinste Vielfache. Es gibt 2 Arten es zu ermitteln: Lange und kurze Version. Merksatz: Das kleinste gemeinsame Vielfache ist eine Vereinigungsmenge der Primfaktoren zweier oder mehrerer Zahlen deren Produkt das kleinste gemeinsame Vielfache bildet. Ich wähle alle Primfaktoren in der höchsten Anzahl ihres Vorkommens aus. Die Brüche = die Bruchzahlen: Einen Bruch kann man als Quotienten zweier natürlicher Zahlen verstehen. 1 = 1 Ganzes 2, 3, 4, 5, 6, ,7 ....100, 1000, 1 000 000 = 2 Ganze, 3 Ganze, ........, 1 000 000 Ganze,... = ein Ganzes 1/2, 1/3, ¼, 1/ 5, ..., 1/10, ... 1/100, ... 1/1000, ... 1/1 000000 z. B. : 1 / 4 bedeutet: Das Ganze (1 Ganzes) wurde in 4 Teile geteilt und 1/4 ist 1 solcher Teil. Brüche benötigt man, um Teile eines Ganzen bezeichnen zu können. Zerlegt man 1 Ganzes in 2, 3, 4, 5, .... gleich große Teile, so heißt 1 solcher Teil: Ein Halbes, ein Drittel, ein Viertel, ein Fünftel, .......... Der Zähler: steht oben Der Nenner: steht unten. Der Bruchstrich ist ein Divisionszeichen: a / b = a : b „dabei sind" a, b ? ?0 Der Nenner gibt an, in wie viele gleiche Teile das Ganze geteilt wurde. Der Zähler gibt an, wie viele solcher gleichen Teile gemeint sind. Die Einteilung von Brüchen: 1) Echte Brüche: Zähler ? Nenner z.B.: ½, 1/3, 9/13, 13/14, 9/10, 99/100, ... Besondere echte Brüche: Die Stammbrüche – der Zähler ist 1: ½, /1/3, 1/14, 1/10, 1/88, 1/100, ... 2) Unechte Brüche: Zähler ? Nenner z.B.: 7/2, 3/2, 5/4, 13/4, 14/13, 13/13, 25/13, 101/100, .... Besondere unechte Brüche: Uneigentliche Brüche: Der Zähler ist ein Vielfaches des Nenners: z.B.: 2/2, 4/2, 6/2, 8/2, 6/3, 12/3, 25/5, 3/3, 6/3, 4/4, 8/4, .... 25/25, 50/25, 75/25, ... Auch die Natürlichen Zahlen ? gehören zu den Bruchzahlen, und zwar zu den uneigentlichen Brüchen, z. B. : 1/1, 2/1, 3/1, 9/1, 10/1, ..... 51/1, 77/1, 102/1,...... Jeder uneigentliche Bruch kann in eine gemischte Zahl verwandelt werden. (Eine sogenannte „gemischte Zahl" besteht aus Ganzen und echten Brüchen.) z. B. : 3/2 = 1 ½ 3 : 2 = 1 27/4 = 6 ¾ 27 : 4 = 6 1 R 3 R Die Verwandlung von Bruchzahlen zu Dezimalzahlen: Jeder Bruch lässt sich als Dezimalzahl aufschreiben. Dabei treten endliche Dezimalzahlen (die Division geht sich ohne Rest aus) oder periodische Dezimalzahlen, siehe a), b), auf. Zähler : Nenner = endliche Dezimalzahl - oder - periodische Dezimalzahl ¾ = 0, 75 3: 4 = 0, 75 ... endliche Dezimalzahl • = Periodenpunkt a) 1/3 = 0, 3 sprich: „0, 3 periodisch" = eine „rein periodische Dezimalzahl" Vorperiode ?• • b) 1/6 = 0, 166666.... = 0,16 eine „gemischt periodische Dezimalzahl" • • 0,16 oder 0, 583 sprich: „Null komma, fünf acht Periode drei" ? ?? Vorperiode Periode •• •• 4/11 = 0,36 4 : 11 = 0, 36 sprich: „Null komma, drei sechs periodisch" Die sich wiederholende Zifferngruppe heißt „Periode". • •• 0, 3 und 0, 36 nennt man daher periodische Dezimalzahlen •• •• 0,16161616161616...... = 0, 16 Die Verwandlung von Dezimalzahlen in Brüche: Es gibt 4 Arten von Dezimalzahlen: 1) endliche Dezimalzahlen 2) reinperiodische Dezimalzahlen 3) gemischtperiodische Dezimalzahlen 4) nicht periodische und nicht endliche Dezimalzahlen: Die nicht periodischen und die nicht endlichen Dezimalzahlen kann man nicht in einen Bruch verwandeln. Z. B.: „Pi": ? = 3, 14..... und die "Eulersche Zahl" ? = 2, 7...... und „die Wurzel aus 2": ? 2 = 1, 41425.......... 1) 0, 5 = 0 Ganze u. 5/10 3, 7 = 3 Ganze u. 7/10 1, 25 = 1 Ganzes u. 25/100 0, 027 = 0 Ganze u. 27/1000 z z z h z h t 2) Rein periodische Dezimalzahlen: Hilfsregel: In den Zähler kommt die Zahl ohne Periodenpunkte; in den Nenner kommen so viele 9 wie die Periode Stellen hat. • Z. B.: 0, 3 = 3/9 3) Gemischtperiodische Dezimalzahlen: Hilfsregel: In den Zähler kommt die Zahl ohne Periodenpunkte minus der Vorperiode; in den Nenner kommen so viele 9 wie die Periode Stellen hat und so viele Nullen wie die Vorperiode Stellen hat. • •• Z.B.: 0, 237 = 237 – 23 = 214 0, 237 = 237 – 2 = 235 900 900 990 990 • •• •• 1, 111 = 1 111-11 = 1 100 1, 111 = 1 111 – 1 = 110 5, 469 = 5 469 – 4 = 5 465 900 900 990 990 990 990 Erweitern und Kürzen von Brüchen: 1) Erweitern eines Bruches heißt: Zähler und Nenner mit derselben Natürlichen Zahl ( ? 0) multiplizieren. ½ ? 2 = 2/4 ½ · 3 = 3/2 Der Wert des Bruches bleibt dabei unverändert. Allgemein: a ? n = a ? n a, b ? N mit b ? 0; n ? N* b b ? n (1.Heft S. 45 u. Buch Nr. 165 f: 1) gleicher Zähler, 2) gleicher Nenner) 2) Kürzen eines Bruches heißt: Zähler und Nenner werden durch dieselbe Zahl (? 0) dividiert. Der Wert des Bruches ändert sich dabei nicht. Ein vollständig gekürzter Bruch: Es wird so lange gekürzt, bis der größte gemeinsame Teiler, ggT, von Zähler und Nenner 1 ist. 2/4 : 2 = ½ ..... allgemein: a : n = a : n b b : n mit a, b ? N mit b ? 0, n ? N* Ordnen von Brüchen: z.B.: 2/3, 11/16 ... Welcher Bruch, welche Zahl , welche Bruchzahl ist größer? KgV (3, 16) = 48 ... „daher" ? : 2/3 = 32/48 11/16 = 33/48 ? 2/3 ? 11/16 Brüche kann man nur dann vergleichen, wenn sie den gleichen Nenner haben, den man mit Hilfe des Kleinsten gemeinsamen Vielfachen, kgV, errechnet. Von zwei Brüchen mit gleichem Nenner ist jener Bruch der größere (=die größere Zahl, Bruchzahl) der den größeren Zähler hat. Addieren und Subtrahieren von Brüchen: 1) Gleichnamige Brüche = sind Brüche mit gleichem Nenner: ¾ + 5/4 = 8/4 = 2 a ? b = a ? b für Subtraktion: a ? b n n n mit n ? 0 2) Ungleichnamige Brüche = haben verschiedene Nenner: ¾ + ½ = ¾ + 2/4 = 5/4 = 1 ¼ Ungleichnamige Brüche müssen zuerst durch Erweitern in gleichnamige Brüche umgewandelt werden, durch Errechnen des kgV. Jeder unechte Bruch muss zum Schluss in eine gemischte Zahl verwandelt werden; vorher unbedingt kürzen! Multiplikation von Brüchen: a) Multiplikation eines Bruches mit einer Natürlichen Zahl: a · n = a · n mit a, b, n ? N, b ? 0 b b Ein Bruch wird mit einer natürlichen (ganzen) Zahl multipliziert, indem man den Zähler mit der natürlichen (ganzen) Zahl multipliziert und den Nenner unverändert lässt. Vor dem Ausrechnen nach Möglichkeit kürzen! Jede gemischte Zahl muss vor dem Ausmultiplizieren in einen unechten Bruch umgewandelt werden. b) Multiplikation eines Bruches mit einem Bruch: Zähler • Zähler Nenner • Nenner Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Vor dem endgültigen Ergebnis sollte man nach Möglichkeit kürzen! Division von Brüchen: Dividend : Divisor = Wert des Quotienten Umgangssprache: „durch" bedeutet: dividieren durch ......, gebrochen durch ...., „Bruchstrich" ... a) Division eines Bruches durch eine ganze (=natürliche) Zahl: a : n = a b b • n a, b, n ? N; b, n , ? 0 Merksatz: Vor dem Ausdividieren muss eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch umgewandelt werden! Ein Bruch wird durch eine ganze Zahl dividiert, indem man den Nenner des Bruches mit der ganzen Zahl (dem Divisor) multipliziert b) Division einer ganzen (=natürlichen) Zahl durch einen Bruch: n : a = n : a = n . b = n · b = n · b b 1 b 1 a 1 · a a a ? 0 Merksatz: Man muss die ganze Zahl n als n (Eintel-Bruch ) anschreiben, und dann die beiden Brüche dividieren, 1 indem man mit mit dem Kehrwert des Divisors Zahler und Nenner multipliziert ( = indem man mit dem rezibroken Wert des Divisors multipliziert). c) Division eines Bruches durch einen anderen Bruch: Merksatz: Ein Bruch wird durch einen Bruch dividiert, indem man ihn mit dem Kehrwert (= seinem reziproken Wert) des Divisors Zähler und Nenner multipliziert. Der Kehrwert entsteht, indem man Zähler und Nenner des Divisors (= zweiter Bruch) vertauscht: a : c = a · d a, b, c, d, ? N, mit b, c, d, ? 0 Zähler1 : Zähler2 = Zähler1 • Nenner2 b d b · c Nenner1 Nenner2 Nenner1 • Zähler2 Vor dem Ausrechnen muss eine gemischte Zahl wieder in einen unechten Bruch umgewandelt werden. (Oder: bei Textbeispielen eine Deziamlzahl ausgerechnet werden.) Textbeispiele Buch 323, 324, 330. d) Doppelbrüche: Buch S. 78 u. Bsp. 330 Division von Doppelbrüchen – Merksatz: Produkt der Außenglieder durch Produkt der Innenglieder. Oder anders gesagt: Außenglied mal Außenglied, Innenglie mal Innenglied. Merkspruch: Innenglieder in den Nenner, Außenglieder in den Zähler. a Hauptbruchstrich b . = a · d c b · c mit b, c, d ? 0 d Eine Multiplikation mit dem Kehrwert ines Bruches ist im Grund eine Division! Frage: Mit welcher Zahl muss ich eine gegebene Zahl multiplizieren, um 1 ( = 1 Ganzes) zu erhalten? Antwort: Eine gegebene Zahl muss ich mit ihrem Kehrwert multiplizieren, um 1 (= 1 Ganzes = 1/1) zu erhalten. z. B. : 1/3 ? 3/1 = 1/1 = 1 Ganzes = 3/3 oder Ebenso kann ich von einer Mehrheit wie z.B. 3, oder 17 oder 1145 auf die Einheit, das ist 1 = (1Ganzes) rechnen: z. B. geg.: 3 Ganze: 3 ( eine natürliche ganze Zahl als Eintel behandeln): 3/1 ? 1/3 = 1/1 = 1 Ganzes = 3/3! geg: 17 ges: 1: 17 = 17/1 .... 17/1 ? 1/17 = 1/1 = 1 (1 Ganzes = 17/17) geg: 1145, ges 1: 1145/1 ? 1/11145 = 1/1 = 1 (= 1 Ganzes ( = 1145/1145). Gleichungen: Steht zwischen Variablen (Platzhalter), Zahlen beziehungsweise Verbindungen von Zahlen und Variablen (+, -, ·, : ) das Gleichheitszeichen ( = ), so spricht man von einer Gleichung. z.B.: x + 3 = 7 ...... x = 4 Von einer Gleichung kann man nicht von vorne herein sagen, ob sie richtig ist oder fasch ist. Man benötigt daher eine Grundmenge G Dann setzt man die Elemente der Grundmenge G in die Gleichung ein und überprüft durch ausrechnen, ob die Gleichung richtig oder falsch ist. Jene Elemente von Grundmenge G, die eine wahre Aussage ergeben, nennt man Lösungen. Die Menge aller Lösungen, nennt man Lösungsmenge L. Eine Gleichung hat entweder eine oder mehrere Lösungen oder keine Lösung (dann ergibt sich für L eine leere Menge). Lösungsmethoden: a) durch ausprobieren b) mit Hilfe der Umkehroperationen Addition ? Subtraktion, Multiplikation ? Division. Das Lösen von Gleichungen entspricht der Vorstellung von einer Waage: gleich schwer, das bedeutet links vom Ist-Gleichzeichen ist genau so viel wert wie rechts vom Ist-Gleichzeichen, das ist wie eine Waage im Gleichgewicht. Man kann auf beiden Seiten der Gleichung gleichviel dazugeben oder wegnehmen – das Gleichgewicht bleibt erhalten. Gleichungsarten: ? = ... ist Element von ... x + a = b a, b ? B (Bruchzahlen) oder: x – a = b G = B :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: Die Prozentrechnung: 1% = 1 Prozent = 1 = 0,01 = 1 Hundertstel 100 1 Ganze = 100 % = 1 ........ Grundwert = G Der Grundwert G , das Ganze, wird mit 100% angegeben. Beim Prozentrechnen verwendet man die Zahl 100 als Vergleichszahl. Beim Prozentsatz muss man immer angeben, worauf die Prozent sich beziehen, d. h. welcher Grundwert G vorliegt. Prozentsatz = p %.... z. B.: P = 27 % 27 = 0, 27 Prozentanteil, den die p% ergeben = A ,,,,. z. B. A= 54 € z.B.: 20% des 60 ha großen Grundbesitzes eines Bauern bestehen aus Wald. Grundwert G = 60ha = das Ganze = 100% Prozentsatz ... p% = 20% Ergebnis der Prozentrechnung: Prozent-Anteil A = Anteil, den die p% ergeben = 12ha 1. Graphische Darstellung von Prozentangaben Buch Seite 97! a) Prozentstreifen b) Prozentkriese Formel für die Berechnung des Prozentanteils: A = p% von G = p von G = G • p,,,, 100 100 Kurzsprechweise: Der Prozentanteil A = Grundwert G mal Prozentsatz p Hundertstel: A = G • p... 100 Besondere Werte: 10 % = 0,1 = 1/10 20 % = 0,2 = 2/10 = 1/5 50 % = 0,5 = ½ 25 % = 0,25 = ¼ 75 % = 0,75 = ¾ Promille: ‰ ‰‰‰‰‰‰‰ 1 ‰ = 1 Promille = 1 = 0,oo1 = 1 Tausebßndstel 1000 p ‰ = Promillesatz ‰ A = Promilleanteil G = Grundwert = 1000 ‰ A = G • p.... 1000 Kurzsprechweise: Der Promilleanteil A = Grundwert G mal Prozentsatz p Tausendstel. 1. Berechnung des Prozent- und Promilleanteils A Buch S 100 2. Berechnung des Prozent- und Promillesatzes p Buch S. 105 3. Berechnung des Grundwertes G Buch Seite 108 4. Weitere Anwendungsaufgaben Buch S.110 5. Graphische Darstellungen – Sammeln und Auswerten Daten Buch S. 116 Zusammenfassung S.121: Arbeiten mit Daten: 1) Die Stichprobe = Erheben von Daren 2) Auswerten von Daten durch Berechnen von a) absoluten Häufigkeietn b) relativen Häufigkeiten c) prozentuellen Häufigkeiten d) 3) Darstellen von Daten: a) Streifenschaubild = Staffelbild = Histogramm b) Streckenschaubild = Stabdiagramm c) Piktogrgamm d) Polygonbild e) Prozentstreifen f) Prozentkreis Die Mehrwertsteuer = MWSt. : Netto-Verkaufspreis = Verkuafspreis netto = Verkaufspreis ohne MWSt. = Preis exklusive MWSt. Bei jedem Kauf – „Umsatz" – muss der Käufer Mehrwersteuer bezahlen, die der Verkäufer an den Staat, an das Finanzamt, abzuliefern hat. Im Jahr 2000 betrug die MWST. für Bücher, Lebensmittel und Wohnungsmieten 10% und für die meisten übrigen Waren und Dienstleistungen 20% vom sogenannten Netto-Verkaufspreis und für Speisen und Getränke gibt es einen Mehrwertsteuersatz von 14%. Direkte und indirekte Proportionalität: a) Direkte Propoationalität: „je mehr" ? „um so mehr" / „je weniger" ? „um so weniger" z.B.: 1kg kostet 5€ ? 2kg kosten 10€. / 5kg kosten 20€ ? 1kg kostet 4€. • 2 / : 5 b) Indirekte Proportionalität: „je weniger" ? „um so mehr" / „je mehr" ? „um so weniger z.B.: Für die Fahrt von Lilienfeld nach St. Pölten benötigt man30 Minuten, man fährt 50 km / h. 50km/h ?. 30 min 50km/h ? 30min :2 ?• 2 • 2 ? :2 25 km/h ?... 60 min 100km/h ? 15min GEOMETRIE: Das Koordinatensystem: ^ Das kartesische oder rechtwinkelige Koordinatensystem: 1 E = 1 cm 1. Koordinate = x-Koordinate 2. Koordinate = y-Koordinate Vom Nullpunkt, dem Koordinatenursprung, gehen zwei Strahlen aus: die Koordinatenachsen, x-Achse u. y-Achse Die beiden Koordinatenachsen bilden einen rechten Winkel. In einem Koordinatensystem sind alle Punkte eindeutig durch ein Zahlenpaar festgelegt: P (x / y) Geometrische Zeichensprache: Die Menge { .... } Punkt, Punkte X Für die gilt: | „Die Menge aller Punkte X" „für die gilt:" .... { X | .... } „ist gleich:" = g, h, usw Gerade a, b, usw Schenkel __ __ AB, CD, usw. ... Strecken Symmetrie: Zwei Punkte, die symmetrisch bezüglich einer Geraden g liegen, haben von dieser Geraden denselben Abstand und ihre Verbindungsstrecke steht normal auf die Symmetrieachse g: (Der kürzeste Abstand ist immer der sogenannte „Normalabstand.") A, B, C, D, usw. ... sind die Urpunkte A1, B1, C1, D1, usw. … sind die Bildpunkte, die gespiegelten Punkte. Die Streckensymmetrale: SAB = Streckensymmetrale für die Strecke AB. MAB = Mittelpunkt der Strecke Ab X1, X2, X3, X4, X5, usw. ... = ? SAB Die Streckensymmetrale SAB ist die Menge alle Punkte X, die von zwei Punkten gleich weit entfernt sind. __ Die Eigenschaften der Streckensymmetrale: 1) SAB ? AB 2) SAB teilt die Strecke in zwei gleich lange Teile. Die Formel für die Streckensymmetrale: __ __ SAB = { X | XA = XB} Sprich: „Die Menge aller Punkte" X „für die gilt:" „die Strecke XA" „ist gleich" „der Strecke XB". Der Winkel: Ein Winkel ist das Maß für die Lage zweier Gerader (g u. h) zueinander. Maßeinheit = 1° = 1 Winkelgrad 1° = 60' = 60 Winkelminuten 60' = 60'' = 60 Winkelsekunden ?, ?, ?, ?, ? ... Winkelbezeichnungen a, b = die Schenkel S = der Scheitelpunkt = der Schnittpunkt zweier Gerader Winkelarten: Spitzer Winkel = 0° bis 89° Rechter Winkel = 90° Stumpfer Winkel = 91 ° bis 179° Gestreckter Winkel = 180° Erhabener Winkel = 181° bis 359° Voller Winkel = 360° Supplementäre Winkel: Supplementäre Winkel ergänzen einander auf 180°: ? + ? = 180°, ? + ? = 180°, usw... Komplementäre Winkel: Komplementäre Winkel ergänzen einander auf 90°: ? + ? = 90°, ? + ? = 90°, usw... Scheitelwinkel: Scheitelwinkel sind gleich groß: ?= ?' ? = ?', ? = ?', usw... (Sie liegen in der Zeichnung diagonal gegenüber) Parallelwinkel: Winkel, deren Schenkel zueinander paarweise parallel sind, nennt man Parallelwinkel; sie sind entweder gleich groß oder supplementär. Normalwinkel: Winkel, deren Schenkel aufeinander paarweise normal stehen, heißen Normalwinkel; sie sind entweder gleich groß oder supplementär. Ein Winkel kann gegeben sein durch: 1) Scheitel S und 2 Schenkel a,b 2) Durch 3 Punkte, wobei der Scheitel S stets in der Mitte liegt. Konstruktion von besonderen Winkeln: r = Radius Den Radius eines Kreises 1x abschlagen = 60°; r 3x abschlagen ist 180° = Halbkreis = gestreckter Winkel r 6x abschlagen = 6 x 60° = 360° 90° konstruieren: 2x Radius abschlagen und dann den 2. Abschlag halbieren mittels Zirkel 60° grad halbieren mittels Zirkel = 30° 30° halbieren mittels Zirkel = 15° 90 ° halbieren mittels Zirkel = 45° Die Winkelsymmetrale ... w?, w?, w?, w?, w?: __ __ Formel der Winkelsymmetrale: w = {X | Xa = Xb} Sprich: „Die Menge aller Punkte" X „für die gilt:" „der Abstand des Punktes X von Schenkel a" „ist gleich" „dem Abstand des Punktes X von Schenkel b". Eigenschaften der Winkelsymmetrale: 1) Die Winkelsymmetrale w halbiert den dazugehörigen Winkel 3) Jeder Punkt der Winkelsymmetrale X1, X2, X3, X4, X5, usw. ist von den beiden Schenkeln a und b gleich weit entfernt. Addition und Subtraktion von Winkeln: 1. Graphische Addition und Subtraktion von Winkeln durch Konstruktion. 2. Rechnen mit Winkelmaßen: Das Dreieck: A, B, C ... Eckpunkte in Blockbuchstaben, Beschriftung gegen den Uhrzeigersinn. a, b, c, ... Seitenbezeichnung und Seitenlänge in Druckbuchstaben: a = BC, b = AC, c = AB ?, ?, ?... Winkelbezeichnung, oder: 1) Winkel-Bezeichnung durch 2 Seiten: ? = ? (b, c), ? = ? (a, c), ? = ? (a, b) 2) Winkel-Bezeichnung durch 3 Eckpunkte: ? = ? BAC, ? = ? ABC, ? = ? ACB Die Dreiecks-Seite liegt dem jeweiligen Eckpunkt und dazugehörigem Winkel gegenüber: a gegenüber von A und ? , b gegenüber von B und ?, c gegenüber von C und ? Einteilung der Dreiecke: 1. Einteilung der Dreicke nach Art der Winkel: a) Spitzwinkeliges Dreieck: alle 3 Winkel sind kleiner als 90°: ?, ?, ? < 90° b) Rechtwinkeliges Dreieck: Die Seiten des rechtwinkeligen Dreiecks: c = Hypothenuse des Dreiecks und liegt dem rechten Winkel immer gegenüber. a, b = die Katheten schließen den rechten Winkel ein. ? = immer 90 ° ? und ? sind spitze Winkel (1° bis 89°) und ? + ? = 90° Imrechtwinkeligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt H immer im Scheiteldes rechten Winkels (im Punkt C) und der Umkreismittelpunkt ist der Halibierungspunkt der Hypothenuse c. Der Satz von Thales von Milet: Jeder Winkel im Halbkreis ist ein rechter Winnkel. Flächeninhalt A des rechtwinkeligen Dreiecks: Arechtwinkeliges Dreieck = ½ • ARechteck = ½ • a • b = A rechtw. Dreieck = ½ • a • b Diagonale des Rechtecks d = Hypothenuse c c) Stumpfwinkeliges Dreieck: 1 Winkel ist stumpf und 2 Winkel sind spitz Die Winkelsummen im Dreieck sind immer 180°: ? + ? + ? = 180° .... das ist ein gestreckter Winkel 2. Einteilung nach Art der Seiten: a) Gleichseitiges Dreieck: a = b = c und ? = ? = ? = 60° Das gleichseitige Dreieck hat 3 Symmetrieachsen und alle Punkte ( U, H, I, S ) fallen im Mittelpunkt M zusammen! b) Gleichschenkeliges Dreieck: a = b und ? = ? a, b ... sind Schenkel des Dreiecks c ... ist die Grundlinie 1 Höhe - z.B. hc - ist Symmetrieachse und H, U , I , S liegen auf derselben Symmetriechse . hc. Die Euler'sche Gerade e fällt mit . hc zusammen: . hc = e c) Allgemeines Dreieck: Ein Dreieck ist immer durch 3 Bestimmungsstücke eindeutig festgelegt: 1) Entweder durch 3 Seiten: s s s ... daher: a b c a + b > c a + c > b .... Damit das Dreieck konstruierbar ist, müssen alle 3 Ungleichungen erfüllt sein. b + c > a 2) Oder durch 2 Seiten und dem von diesen eingeschlossenen Winkel: s W s 3) Oder durch 1 Seite und die zwei anliegenden Winkel: W s W 4) Oder durch 2 Seiten und den nicht eingeschlossenen Winkel: s s W Der Höhenschnittpunkt: Ha ....... Höhe auf die Seite a, Hb ... Höhe auf die Seite b, Hc ... Höhe auf die Seite c Die Höhe eines Dreiecks ist der Normalabstand eines Eckpunktes von der gegenüberliegenden Seite. Den Schnittpunkt der drei Höhen (bzw. ihrer Verlängerungen) nennt man Höhenschnittpunkt H. Die Schwerlinien und der Schwerpunkt: Die Verbindungslinie des Halbierungspunktes einer Dreiecksseite zum gegenüberliegenden Eckpunkt heißt Schwerlinie: sa, sb, sc. Der Schnittpunkt der Schwerlinien heißt S und ist jener Punkt, bei dem das Dreieck gleich bleibt. Die Seitensymmetralen: Die Seitensymmetralen des Dreicks sind Streckensymmetralen und halbieren die Dreicksseiten. Der Umkreismittelpunkt: Der Umkreismittelpunkt U ist der Schnittpunkt der Seitensymmetralen des Dreicks. In einem spitzwinkeligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt U innerhalb eines Kreises. Der Inkreismittelpunkt: Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der 3 Winkelsymmetralen eines Dreicks. Kongruente Dreicke: Dreiecke sind kongruent ( = deckungsgleich: gleiche Form u. gleiche Größe), wenn sie in folgendem Übereinstimmen: 1.) Übereinstimmung in 3 Seiten = sss 2.) 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel = sWs 3.) 1 Seite und die beiden anliegenden Winkel = WsW 4.) 1 Seite und 2 beiliegende Winkel sWW 5.) 2 Seiten und jener Winkel, welcher der größeren Seite gegenüber liegt = ssW Ähnliche Dreiecke: Dreiecke sind ähnlich ( = gleiche Form aber verschiedene Größe), wenn sie in drei Winkeln übereinstimmen = WWW. Für ein ähnliches Dreieck muss mindestens 1 Seite angegeben sein, damit es eindeutig bestimmt ist. Die Euler'sche Gerade: Der Höhenschnittpunkt H, der Umkreismittelpunkt U und der Schnittpunkt S der Schwerlinien eines Dreiecks liegen auf einer gemeinsamen Geraden e, der sogenannten Euler'schen Geraden. Euler war ein Mathematiker, der die Euler'sche Gerade und die Euler'sche Zahl entdeckt hat. Der Inkreismittelpunkt I liegt NICHT auf der Euler'schen Geraden; es gibt allerdings Sonderfälle, wie das gleichschenkelige und das gleichseitige Dreieck, wo der Inkreismittelpunkt I doch auf der Euler'schen Geraden liegt. :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: VIERECKE: 1) Das Paralellogramm: a = ? ß = d a + ß = 180° ? a + ß + ? + d = 360° ? + d = 180° Ein Viereck bei dem je 2 gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind, heißt Parallelogramm. Die 2 Winkel im Parallelogramm, die an 1 Seite anliegen, sind supplementär. AC = e, BD = f Die Diagonalen des Parallelogramms e und f halbieren einander. Flächeninhalt A des Parallelogramms: AViereck = a • ha = b • hb Mittelwert von A1 und A2 = m m =A1 + A2 2 2) Die Raute = der Rhombus: Ein Parallelogramm mit 4 gleich langen Seiten heißt Raute oder Rhombus. Die Diagonalen e und f halbieren einander und stehen aufeinander normal. Jede Raute besitzt einen Inkreis I: (M = I; r = ha 2 ha und r sind normal auf a ARhombus/Raute = a • ha 3) Rechteck und Quader: a) das Rechteck: Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit 4 rechten Winkeln. Die Diagonalen des Rechtecks sind gleich lang. Das Rechteck hat 2 Symmetrieachsen. Das Rechteck hat einen Umkreis: (R = d ; M = U) 2 b) Das Quadrat: Ein Quadrat ist ein Pararlleogramm it 4 gleich langen Seiten und mit 4 rechten Winkeln – Ein Quadrat ist also eine besondere Raute / Rhombus. Das Quadrat hat einen Umkreis und auch einen Inkreis: (R = a ; r = a ) 2 2 Die Diagonalen des Quadrates sind gleich lang, halbieren einander und stehen aufeinander normal. 4) Das Trapez: Ein Viereck mit 2 parallelen Seiten heißt Trapez. a || c a, b, c, d, ... Schenkel Die 2 an einem Schenkel anliegenden Seiten heißen supplementär Man zerlegt das Trapez in ein Dreieck und in ein Paralellogramm. ? .... daraus folgt a + d = 180° ? + ß = 180° ? a + ß + ? + d = 360 a) Das gleichschenkelige Trapez: b = d ? a = ß , ? = d Jedes gleichschenkelige Trapez besitzt eine Symmetrieachse. Die diagonalen des gleichschenkeligen Trapezes sind gleich lang, c = f, und schneiden einander auf der Symmetrieachse. Jedes gleichschenkelige Dreieck hat einen Umkreis, dessen Mittelpunkt U auf der Symmetriechse liegt. b) Das Deltoid (=das Drachenviereck): Das Deltoid ist ein Viereck mit 2Paar gleich langen Seiten. Die Diagonale e ist Symmetriechse f und wird von e halbiert (nicht umgekehrt !!) Jedes Deltoid hat einen Inkreis. Der Inkreismittelpunkt I des Deltoids liegt auf der Symmetriechse. 5) Allgemeine Vierecke: a) Das komplexe Viereck:: alle Winkel < als 180°. b) Das nicht-komplexe Viereck: 1 Winkel > als 180° :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 1 Mathematik 2, Bearbeitung zuletzt am 27.August 2007 ....................................................................................................................................... |
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